Математический анализ Примеры

$\int_{0}^{2} 2 x - x^{2} d x$

Этап 1

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int_{0}^{2} 2 x d x + \int_{0}^{2} - x^{2} d x$

Этап 2

Поскольку $2$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $2$ из-под знака интеграла.

$2 \int_{0}^{2} x d x + \int_{0}^{2} - x^{2} d x$

Этап 3

По правилу степени интеграл $x$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$2 (\frac{1}{2} x^{2}]_{0}^{2}) + \int_{0}^{2} - x^{2} d x$

Этап 4

Объединим $\frac{1}{2}$ и $x^{2}$ .

$2 (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{2}) + \int_{0}^{2} - x^{2} d x$

Этап 5

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$2 (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{2}) - \int_{0}^{2} x^{2} d x$

Этап 6

По правилу степени интеграл $x^{2}$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$2 (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{2}) - (\frac{1}{3} x^{3}]_{0}^{2})$

Этап 7

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Объединим $\frac{1}{3}$ и $x^{3}$ .

$2 (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{2}) - (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{2})$

Этап 7.2

Подставим и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1

Найдем значение $\frac{x^{2}}{2}$ в $2$ и в $0$ .

$2 ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2}) - (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{2})$

Этап 7.2.2

Найдем значение $\frac{x^{3}}{3}$ в $2$ и в $0$ .

$2 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}) - (\frac{2^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3})$

Этап 7.2.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.3.1

Возведем $2$ в степень $2$ .

$2 (\frac{4}{2} - \frac{0^{2}}{2}) - (\frac{2^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3})$

Этап 7.2.3.2

Сократим общий множитель $4$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.3.2.1

Вынесем множитель $2$ из $4$ .

$2 (\frac{2 \cdot 2}{2} - \frac{0^{2}}{2}) - (\frac{2^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3})$

Этап 7.2.3.2.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.3.2.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$2 (\frac{2 \cdot 2}{2 (1)} - \frac{0^{2}}{2}) - (\frac{2^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3})$

Этап 7.2.3.2.2.2

Сократим общий множитель.

$2 (\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1} - \frac{0^{2}}{2}) - (\frac{2^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3})$

Этап 7.2.3.2.2.3

Перепишем это выражение.

$2 (\frac{2}{1} - \frac{0^{2}}{2}) - (\frac{2^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3})$

Этап 7.2.3.2.2.4

Разделим $2$ на $1$ .

$2 (2 - \frac{0^{2}}{2}) - (\frac{2^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3})$

Этап 7.2.3.3

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$2 (2 - \frac{0}{2}) - (\frac{2^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3})$

Этап 7.2.3.4

Сократим общий множитель $0$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.3.4.1

Вынесем множитель $2$ из $0$ .

$2 (2 - \frac{2 (0)}{2}) - (\frac{2^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3})$

Этап 7.2.3.4.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.3.4.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$2 (2 - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1}) - (\frac{2^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3})$

Этап 7.2.3.4.2.2

Сократим общий множитель.

$2 (2 - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1}) - (\frac{2^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3})$

Этап 7.2.3.4.2.3

Перепишем это выражение.

$2 (2 - \frac{0}{1}) - (\frac{2^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3})$

Этап 7.2.3.4.2.4

Разделим $0$ на $1$ .

$2 (2 - 0) - (\frac{2^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3})$

Этап 7.2.3.5

Умножим $- 1$ на $0$ .

$2 (2 + 0) - (\frac{2^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3})$

Этап 7.2.3.6

Добавим $2$ и $0$ .

$2 \cdot 2 - (\frac{2^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3})$

Этап 7.2.3.7

Умножим $2$ на $2$ .

$4 - (\frac{2^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3})$

Этап 7.2.3.8

Возведем $2$ в степень $3$ .

$4 - (\frac{8}{3} - \frac{0^{3}}{3})$

Этап 7.2.3.9

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$4 - (\frac{8}{3} - \frac{0}{3})$

Этап 7.2.3.10

Сократим общий множитель $0$ и $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.3.10.1

Вынесем множитель $3$ из $0$ .

$4 - (\frac{8}{3} - \frac{3 (0)}{3})$

Этап 7.2.3.10.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.3.10.2.1

Вынесем множитель $3$ из $3$ .

$4 - (\frac{8}{3} - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1})$

Этап 7.2.3.10.2.2

Сократим общий множитель.

$4 - (\frac{8}{3} - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1})$

Этап 7.2.3.10.2.3

Перепишем это выражение.

$4 - (\frac{8}{3} - \frac{0}{1})$

Этап 7.2.3.10.2.4

Разделим $0$ на $1$ .

$4 - (\frac{8}{3} - 0)$

Этап 7.2.3.11

Умножим $- 1$ на $0$ .

$4 - (\frac{8}{3} + 0)$

Этап 7.2.3.12

Добавим $\frac{8}{3}$ и $0$ .

$4 - \frac{8}{3}$

Этап 7.2.3.13

Чтобы записать $4$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

$4 \cdot \frac{3}{3} - \frac{8}{3}$

Этап 7.2.3.14

Объединим $4$ и $\frac{3}{3}$ .

$\frac{4 \cdot 3}{3} - \frac{8}{3}$

Этап 7.2.3.15

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{4 \cdot 3 - 8}{3}$

Этап 7.2.3.16

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.3.16.1

Умножим $4$ на $3$ .

$\frac{12 - 8}{3}$

Этап 7.2.3.16.2

Вычтем $8$ из $12$ .

$\frac{4}{3}$

Этап 8

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$\frac{4}{3}$

Десятичная форма:

$1.\overline{3}$

Форма смешанных чисел:

$1 \frac{1}{3}$

Этап 9