Математический анализ Примеры

$y = {(2 x + 1)}^{2}$

Этап 1

Продифференцируем обе части уравнения.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} ({(2 x + 1)}^{2})$

Этап 2

Производная $y$ по $x$ равна $y'$ .

$y'$

Этап 3

Продифференцируем правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Перепишем ${(2 x + 1)}^{2}$ в виде $(2 x + 1) (2 x + 1)$ .

$\frac{d}{d x} [(2 x + 1) (2 x + 1)]$

Этап 3.2

Развернем $(2 x + 1) (2 x + 1)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{d}{d x} [2 x (2 x + 1) + 1 (2 x + 1)]$

Этап 3.2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{d}{d x} [2 x (2 x) + 2 x \cdot 1 + 1 (2 x + 1)]$

Этап 3.2.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{d}{d x} [2 x (2 x) + 2 x \cdot 1 + 1 (2 x) + 1 \cdot 1]$

Этап 3.3

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$\frac{d}{d x} [2 \cdot 2 x \cdot x + 2 x \cdot 1 + 1 (2 x) + 1 \cdot 1]$

Этап 3.3.1.2

Умножим $x$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.2.1

Перенесем $x$ .

$\frac{d}{d x} [2 \cdot 2 (x \cdot x) + 2 x \cdot 1 + 1 (2 x) + 1 \cdot 1]$

Этап 3.3.1.2.2

Умножим $x$ на $x$ .

$\frac{d}{d x} [2 \cdot 2 x^{2} + 2 x \cdot 1 + 1 (2 x) + 1 \cdot 1]$

Этап 3.3.1.3

Умножим $2$ на $2$ .

$\frac{d}{d x} [4 x^{2} + 2 x \cdot 1 + 1 (2 x) + 1 \cdot 1]$

Этап 3.3.1.4

Умножим $2$ на $1$ .

$\frac{d}{d x} [4 x^{2} + 2 x + 1 (2 x) + 1 \cdot 1]$

Этап 3.3.1.5

Умножим $2 x$ на $1$ .

$\frac{d}{d x} [4 x^{2} + 2 x + 2 x + 1 \cdot 1]$

Этап 3.3.1.6

Умножим $1$ на $1$ .

$\frac{d}{d x} [4 x^{2} + 2 x + 2 x + 1]$

Этап 3.3.2

Добавим $2 x$ и $2 x$ .

$\frac{d}{d x} [4 x^{2} + 4 x + 1]$

Этап 3.4

По правилу суммы производная $4 x^{2} + 4 x + 1$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [1]$

Этап 3.5

Поскольку $4$ является константой относительно $x$ , производная $4 x^{2}$ по $x$ равна $4 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$4 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [1]$

Этап 3.6

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$4 (2 x) + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [1]$

Этап 3.7

Умножим $2$ на $4$ .

$8 x + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [1]$

Этап 3.8

Поскольку $4$ является константой относительно $x$ , производная $4 x$ по $x$ равна $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$8 x + 4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

Этап 3.9

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$8 x + 4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1]$

Этап 3.10

Умножим $4$ на $1$ .

$8 x + 4 + \frac{d}{d x} [1]$

Этап 3.11

Поскольку $1$ является константой относительно $x$ , производная $1$ относительно $x$ равна $0$ .

$8 x + 4 + 0$

Этап 3.12

Добавим $8 x + 4$ и $0$ .

$8 x + 4$

Этап 4

Преобразуем уравнение, приравняв левую часть к правой.

$y' = 8 x + 4$

Этап 5

Заменим $y'$ на $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = 8 x + 4$