Математический анализ Примеры

$\int_{1}^{5} \frac{5}{x^{3}} d x$

Этап 1

Поскольку $5$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $5$ из-под знака интеграла.

$5 \int_{1}^{5} \frac{1}{x^{3}} d x$

Этап 2

Применим основные правила для показателей степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Вынесем $x^{3}$ из знаменателя, возведя в $- 1$ степень.

$5 \int_{1}^{5} {(x^{3})}^{- 1} d x$

Этап 2.2

Перемножим экспоненты в ${(x^{3})}^{- 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$5 \int_{1}^{5} x^{3 \cdot - 1} d x$

Этап 2.2.2

Умножим $3$ на $- 1$ .

$5 \int_{1}^{5} x^{- 3} d x$

Этап 3

По правилу степени интеграл $x^{- 3}$ по $x$ имеет вид $- \frac{1}{2} x^{- 2}$ .

$5 (- \frac{1}{2} x^{- 2}]_{1}^{5})$

Этап 4

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Объединим $x^{- 2}$ и $\frac{1}{2}$ .

$5 (- \frac{x^{- 2}}{2}]_{1}^{5})$

Этап 4.1.2

Перенесем $x^{- 2}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$5 (- \frac{1}{2 x^{2}}]_{1}^{5})$

Этап 4.2

Подставим и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Найдем значение $- \frac{1}{2 x^{2}}$ в $5$ и в $1$ .

$5 ((- \frac{1}{2 \cdot 5^{2}}) + \frac{1}{2 \cdot 1^{2}})$

Этап 4.2.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1

Возведем $5$ в степень $2$ .

$5 (- \frac{1}{2 \cdot 25} + \frac{1}{2 \cdot 1^{2}})$

Этап 4.2.2.2

Умножим $2$ на $25$ .

$5 (- \frac{1}{50} + \frac{1}{2 \cdot 1^{2}})$

Этап 4.2.2.3

Единица в любой степени равна единице.

$5 (- \frac{1}{50} + \frac{1}{2 \cdot 1})$

Этап 4.2.2.4

Умножим $2$ на $1$ .

$5 (- \frac{1}{50} + \frac{1}{2})$

Этап 4.2.2.5

Чтобы записать $\frac{1}{2}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{25}{25}$ .

$5 (- \frac{1}{50} + \frac{1}{2} \cdot \frac{25}{25})$

Этап 4.2.2.6

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $50$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.6.1

Умножим $\frac{1}{2}$ на $\frac{25}{25}$ .

$5 (- \frac{1}{50} + \frac{25}{2 \cdot 25})$

Этап 4.2.2.6.2

Умножим $2$ на $25$ .

$5 (- \frac{1}{50} + \frac{25}{50})$

Этап 4.2.2.7

Объединим числители над общим знаменателем.

$5 \frac{- 1 + 25}{50}$

Этап 4.2.2.8

Добавим $- 1$ и $25$ .

$5 (\frac{24}{50})$

Этап 4.2.2.9

Сократим общий множитель $24$ и $50$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.9.1

Вынесем множитель $2$ из $24$ .

$5 \frac{2 (12)}{50}$

Этап 4.2.2.9.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.9.2.1

Вынесем множитель $2$ из $50$ .

$5 \frac{2 \cdot 12}{2 \cdot 25}$

Этап 4.2.2.9.2.2

Сократим общий множитель.

$5 \frac{2 \cdot 12}{2 \cdot 25}$

Этап 4.2.2.9.2.3

Перепишем это выражение.

$5 (\frac{12}{25})$

Этап 4.2.2.10

Объединим $5$ и $\frac{12}{25}$ .

$\frac{5 \cdot 12}{25}$

Этап 4.2.2.11

Умножим $5$ на $12$ .

$\frac{60}{25}$

Этап 4.2.2.12

Сократим общий множитель $60$ и $25$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.12.1

Вынесем множитель $5$ из $60$ .

$\frac{5 (12)}{25}$

Этап 4.2.2.12.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.12.2.1

Вынесем множитель $5$ из $25$ .

$\frac{5 \cdot 12}{5 \cdot 5}$

Этап 4.2.2.12.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{5 \cdot 12}{5 \cdot 5}$

Этап 4.2.2.12.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{12}{5}$

Этап 5

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$\frac{12}{5}$

Десятичная форма:

$2.4$

Форма смешанных чисел:

$2 \frac{2}{5}$

Этап 6