Математический анализ Примеры

$\int_{1}^{8} \sqrt[3]{x} d x$

Этап 1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt[3]{x}$ в виде $x^{\frac{1}{3}}$ .

$\int_{1}^{8} x^{\frac{1}{3}} d x$

Этап 2

По правилу степени интеграл $x^{\frac{1}{3}}$ по $x$ имеет вид $\frac{3}{4} x^{\frac{4}{3}}$ .

$\frac{3}{4} x^{\frac{4}{3}}]_{1}^{8}$

Этап 3

Подставим и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Найдем значение $\frac{3}{4} x^{\frac{4}{3}}$ в $8$ и в $1$ .

$(\frac{3}{4} \cdot 8^{\frac{4}{3}}) - \frac{3}{4} \cdot 1^{\frac{4}{3}}$

Этап 3.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Перепишем $8$ в виде $2^{3}$ .

$\frac{3}{4} \cdot {(2^{3})}^{\frac{4}{3}} - \frac{3}{4} \cdot 1^{\frac{4}{3}}$

Этап 3.2.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{3}{4} \cdot 2^{3 (\frac{4}{3})} - \frac{3}{4} \cdot 1^{\frac{4}{3}}$

Этап 3.2.3

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.3.1

Сократим общий множитель.

$\frac{3}{4} \cdot 2^{3 (\frac{4}{3})} - \frac{3}{4} \cdot 1^{\frac{4}{3}}$

Этап 3.2.3.2

Перепишем это выражение.

$\frac{3}{4} \cdot 2^{4} - \frac{3}{4} \cdot 1^{\frac{4}{3}}$

Этап 3.2.4

Возведем $2$ в степень $4$ .

$\frac{3}{4} \cdot 16 - \frac{3}{4} \cdot 1^{\frac{4}{3}}$

Этап 3.2.5

Объединим $\frac{3}{4}$ и $16$ .

$\frac{3 \cdot 16}{4} - \frac{3}{4} \cdot 1^{\frac{4}{3}}$

Этап 3.2.6

Умножим $3$ на $16$ .

$\frac{48}{4} - \frac{3}{4} \cdot 1^{\frac{4}{3}}$

Этап 3.2.7

Сократим общий множитель $48$ и $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.7.1

Вынесем множитель $4$ из $48$ .

$\frac{4 \cdot 12}{4} - \frac{3}{4} \cdot 1^{\frac{4}{3}}$

Этап 3.2.7.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.7.2.1

Вынесем множитель $4$ из $4$ .

$\frac{4 \cdot 12}{4 (1)} - \frac{3}{4} \cdot 1^{\frac{4}{3}}$

Этап 3.2.7.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{4 \cdot 12}{4 \cdot 1} - \frac{3}{4} \cdot 1^{\frac{4}{3}}$

Этап 3.2.7.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{12}{1} - \frac{3}{4} \cdot 1^{\frac{4}{3}}$

Этап 3.2.7.2.4

Разделим $12$ на $1$ .

$12 - \frac{3}{4} \cdot 1^{\frac{4}{3}}$

Этап 3.2.8

Единица в любой степени равна единице.

$12 - \frac{3}{4} \cdot 1$

Этап 3.2.9

Умножим $- 1$ на $1$ .

$12 - \frac{3}{4}$

Этап 3.2.10

Чтобы записать $12$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{4}{4}$ .

$12 \cdot \frac{4}{4} - \frac{3}{4}$

Этап 3.2.11

Объединим $12$ и $\frac{4}{4}$ .

$\frac{12 \cdot 4}{4} - \frac{3}{4}$

Этап 3.2.12

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{12 \cdot 4 - 3}{4}$

Этап 3.2.13

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.13.1

Умножим $12$ на $4$ .

$\frac{48 - 3}{4}$

Этап 3.2.13.2

Вычтем $3$ из $48$ .

$\frac{45}{4}$

Этап 4

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$\frac{45}{4}$

Десятичная форма:

$11.25$

Форма смешанных чисел:

$11 \frac{1}{4}$

Этап 5