Математический анализ Примеры

$\int_{1}^{5} x \sqrt{2 x^{2} - 1} d x$

Этап 1

Пусть $u = 2 x^{2} - 1$ . Тогда $d u = 4 x d x$ , следовательно $\frac{1}{4} d u = x d x$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Пусть $u = 2 x^{2} - 1$ . Найдем $\frac{d u}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Дифференцируем $2 x^{2} - 1$ .

$\frac{d}{d x} [2 x^{2} - 1]$

Этап 1.1.2

По правилу суммы производная $2 x^{2} - 1$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Этап 1.1.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [2 x^{2}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.1

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 x^{2}$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Этап 1.1.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$2 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 1]$

Этап 1.1.3.3

Умножим $2$ на $2$ .

$4 x + \frac{d}{d x} [- 1]$

Этап 1.1.4

Продифференцируем, используя правило константы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.4.1

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- 1$ относительно $x$ равна $0$ .

$4 x + 0$

Этап 1.1.4.2

Добавим $4 x$ и $0$ .

$4 x$

Этап 1.2

Подставим нижнее предельное значение вместо $x$ в $u = 2 x^{2} - 1$ .

$u_{lower} = 2 \cdot 1^{2} - 1$

Этап 1.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1.1

Единица в любой степени равна единице.

$u_{lower} = 2 \cdot 1 - 1$

Этап 1.3.1.2

Умножим $2$ на $1$ .

$u_{lower} = 2 - 1$

Этап 1.3.2

Вычтем $1$ из $2$ .

$u_{lower} = 1$

Этап 1.4

Подставим верхнее предельное значение вместо $x$ в $u = 2 x^{2} - 1$ .

$u_{upper} = 2 \cdot 5^{2} - 1$

Этап 1.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.1.1

Возведем $5$ в степень $2$ .

$u_{upper} = 2 \cdot 25 - 1$

Этап 1.5.1.2

Умножим $2$ на $25$ .

$u_{upper} = 50 - 1$

Этап 1.5.2

Вычтем $1$ из $50$ .

$u_{upper} = 49$

Этап 1.6

Значения, найденные для $u_{lower}$ и $u_{upper}$ , будут использованы для вычисления данного определенного интеграла.

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = 49$

Этап 1.7

Переформулируем задачу, используя $u$ , $d u$ и новые пределы интегрирования.

$\int_{1}^{49} \sqrt{u} \frac{1}{4} d u$

Этап 2

Объединим $\sqrt{u}$ и $\frac{1}{4}$ .

$\int_{1}^{49} \frac{\sqrt{u}}{4} d u$

Этап 3

Поскольку $\frac{1}{4}$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $\frac{1}{4}$ из-под знака интеграла.

$\frac{1}{4} \int_{1}^{49} \sqrt{u} d u$

Этап 4

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{u}$ в виде $u^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{4} \int_{1}^{49} u^{\frac{1}{2}} d u$

Этап 5

По правилу степени интеграл $u^{\frac{1}{2}}$ по $u$ имеет вид $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{1}{4} \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}]_{1}^{49}$

Этап 6

Подставим и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Найдем значение $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ в $49$ и в $1$ .

$\frac{1}{4} ((\frac{2}{3} \cdot 49^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}})$

Этап 6.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Перепишем $49$ в виде $7^{2}$ .

$\frac{1}{4} (\frac{2}{3} \cdot {(7^{2})}^{\frac{3}{2}} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}})$

Этап 6.2.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{4} (\frac{2}{3} \cdot 7^{2 (\frac{3}{2})} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}})$

Этап 6.2.3

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.3.1

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{4} (\frac{2}{3} \cdot 7^{2 (\frac{3}{2})} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}})$

Этап 6.2.3.2

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{4} (\frac{2}{3} \cdot 7^{3} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}})$

Этап 6.2.4

Возведем $7$ в степень $3$ .

$\frac{1}{4} (\frac{2}{3} \cdot 343 - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}})$

Этап 6.2.5

Объединим $\frac{2}{3}$ и $343$ .

$\frac{1}{4} (\frac{2 \cdot 343}{3} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}})$

Этап 6.2.6

Умножим $2$ на $343$ .

$\frac{1}{4} (\frac{686}{3} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}})$

Этап 6.2.7

Единица в любой степени равна единице.

$\frac{1}{4} (\frac{686}{3} - \frac{2}{3} \cdot 1)$

Этап 6.2.8

Умножим $- 1$ на $1$ .

$\frac{1}{4} (\frac{686}{3} - \frac{2}{3})$

Этап 6.2.9

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{1}{4} \cdot \frac{686 - 2}{3}$

Этап 6.2.10

Вычтем $2$ из $686$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{684}{3}$

Этап 6.2.11

Сократим общий множитель $684$ и $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.11.1

Вынесем множитель $3$ из $684$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{3 \cdot 228}{3}$

Этап 6.2.11.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.11.2.1

Вынесем множитель $3$ из $3$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{3 \cdot 228}{3 (1)}$

Этап 6.2.11.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{4} \cdot \frac{3 \cdot 228}{3 \cdot 1}$

Этап 6.2.11.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{4} \cdot \frac{228}{1}$

Этап 6.2.11.2.4

Разделим $228$ на $1$ .

$\frac{1}{4} \cdot 228$

Этап 6.2.12

Объединим $\frac{1}{4}$ и $228$ .

$\frac{228}{4}$

Этап 6.2.13

Сократим общий множитель $228$ и $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.13.1

Вынесем множитель $4$ из $228$ .

$\frac{4 \cdot 57}{4}$

Этап 6.2.13.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.13.2.1

Вынесем множитель $4$ из $4$ .

$\frac{4 \cdot 57}{4 (1)}$

Этап 6.2.13.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{4 \cdot 57}{4 \cdot 1}$

Этап 6.2.13.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{57}{1}$

Этап 6.2.13.2.4

Разделим $57$ на $1$ .

$57$

Этап 7