Математический анализ Примеры

$\int_{1}^{e} x^{2} - \frac{1}{x} d x$

Этап 1

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int_{1}^{e} x^{2} d x + \int_{1}^{e} - \frac{1}{x} d x$

Этап 2

По правилу степени интеграл $x^{2}$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$\frac{1}{3} x^{3}]_{1}^{e} + \int_{1}^{e} - \frac{1}{x} d x$

Этап 3

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$\frac{1}{3} x^{3}]_{1}^{e} - \int_{1}^{e} \frac{1}{x} d x$

Этап 4

Интеграл $\frac{1}{x}$ по $x$ имеет вид $\ln (| x |)$ .

$\frac{1}{3} x^{3}]_{1}^{e} - (\ln (| x |)]_{1}^{e})$

Этап 5

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Подставим и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1

Найдем значение $\frac{1}{3} x^{3}$ в $e$ и в $1$ .

$(\frac{1}{3} e^{3}) - \frac{1}{3} \cdot 1^{3} - (\ln (| x |)]_{1}^{e})$

Этап 5.1.2

Найдем значение $\ln (| x |)$ в $e$ и в $1$ .

$\frac{1}{3} e^{3} - \frac{1}{3} \cdot 1^{3} - (\ln (| e |) - \ln (| 1 |))$

Этап 5.1.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.3.1

Объединим $\frac{1}{3}$ и $e^{3}$ .

$\frac{e^{3}}{3} - \frac{1}{3} \cdot 1^{3} - (\ln (| e |) - \ln (| 1 |))$

Этап 5.1.3.2

Единица в любой степени равна единице.

$\frac{e^{3}}{3} - \frac{1}{3} \cdot 1 - (\ln (| e |) - \ln (| 1 |))$

Этап 5.1.3.3

Умножим $- 1$ на $1$ .

$\frac{e^{3}}{3} - \frac{1}{3} - (\ln (| e |) - \ln (| 1 |))$

Этап 5.1.3.4

Чтобы записать $- (\ln (| e |) - \ln (| 1 |))$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

$\frac{e^{3}}{3} - (\ln (| e |) - \ln (| 1 |)) \cdot \frac{3}{3} - \frac{1}{3}$

Этап 5.1.3.5

Объединим $- (\ln (| e |) - \ln (| 1 |))$ и $\frac{3}{3}$ .

$\frac{e^{3}}{3} + \frac{- (\ln (| e |) - \ln (| 1 |)) \cdot 3}{3} - \frac{1}{3}$

Этап 5.1.3.6

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{e^{3} - (\ln (| e |) - \ln (| 1 |)) \cdot 3}{3} - \frac{1}{3}$

Этап 5.1.3.7

Умножим $3$ на $- 1$ .

$\frac{e^{3} - 3 (\ln (| e |) - \ln (| 1 |))}{3} - \frac{1}{3}$

Этап 5.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Используем формулу разности логарифмов с одинаковым основанием: $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\frac{e^{3} - 3 \ln (\frac{| e |}{| 1 |})}{3} - \frac{1}{3}$

Этап 5.2.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{e^{3} - 3 \ln (\frac{| e |}{| 1 |}) - 1}{3}$

Этап 5.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

$e$ приблизительно равно $2.71828182$ . Это положительное число, поэтому вычтем абсолютное значение.

$\frac{e^{3} - 3 \ln (\frac{e}{| 1 |}) - 1}{3}$

Этап 5.3.2

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $1$ равно $1$ .

$\frac{e^{3} - 3 \ln (\frac{e}{1}) - 1}{3}$

Этап 5.3.3

Разделим $e$ на $1$ .

$\frac{e^{3} - 3 \ln (e) - 1}{3}$

Этап 5.3.4

Натуральный логарифм $e$ равен $1$ .

$\frac{e^{3} - 3 \cdot 1 - 1}{3}$

Этап 5.3.5

Умножим $- 3$ на $1$ .

$\frac{e^{3} - 3 - 1}{3}$

Этап 5.3.6

Вычтем $1$ из $- 3$ .

$\frac{e^{3} - 4}{3}$

Этап 6

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$\frac{e^{3} - 4}{3}$

Десятичная форма:

$5.36184564 \dots$

Этап 7