Математический анализ Примеры

$\int_{1}^{e} 4 x - \frac{11}{x} d x$

Этап 1

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int_{1}^{e} 4 x d x + \int_{1}^{e} - \frac{11}{x} d x$

Этап 2

Поскольку $4$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $4$ из-под знака интеграла.

$4 \int_{1}^{e} x d x + \int_{1}^{e} - \frac{11}{x} d x$

Этап 3

По правилу степени интеграл $x$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$4 (\frac{1}{2} x^{2}]_{1}^{e}) + \int_{1}^{e} - \frac{11}{x} d x$

Этап 4

Объединим $\frac{1}{2}$ и $x^{2}$ .

$4 (\frac{x^{2}}{2}]_{1}^{e}) + \int_{1}^{e} - \frac{11}{x} d x$

Этап 5

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$4 (\frac{x^{2}}{2}]_{1}^{e}) - \int_{1}^{e} \frac{11}{x} d x$

Этап 6

Поскольку $11$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $11$ из-под знака интеграла.

$4 (\frac{x^{2}}{2}]_{1}^{e}) - (11 \int_{1}^{e} \frac{1}{x} d x)$

Этап 7

Умножим $11$ на $- 1$ .

$4 (\frac{x^{2}}{2}]_{1}^{e}) - 11 \int_{1}^{e} \frac{1}{x} d x$

Этап 8

Интеграл $\frac{1}{x}$ по $x$ имеет вид $\ln (| x |)$ .

$4 (\frac{x^{2}}{2}]_{1}^{e}) - 11 (\ln (| x |)]_{1}^{e})$

Этап 9

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Подставим и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1.1

Найдем значение $\frac{x^{2}}{2}$ в $e$ и в $1$ .

$4 ((\frac{e^{2}}{2}) - \frac{1^{2}}{2}) - 11 (\ln (| x |)]_{1}^{e})$

Этап 9.1.2

Найдем значение $\ln (| x |)$ в $e$ и в $1$ .

$4 (\frac{e^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2}) - 11 (\ln (| e |) - \ln (| 1 |))$

Этап 9.1.3

Единица в любой степени равна единице.

$4 (\frac{e^{2}}{2} - \frac{1}{2}) - 11 (\ln (| e |) - \ln (| 1 |))$

Этап 9.2

Используем формулу разности логарифмов с одинаковым основанием: $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$4 (\frac{e^{2}}{2} - \frac{1}{2}) - 11 \ln (\frac{| e |}{| 1 |})$

Этап 9.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.3.1

Применим свойство дистрибутивности.

$4 \frac{e^{2}}{2} + 4 (- \frac{1}{2}) - 11 \ln (\frac{| e |}{| 1 |})$

Этап 9.3.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.3.2.1

Вынесем множитель $2$ из $4$ .

$2 (2) \frac{e^{2}}{2} + 4 (- \frac{1}{2}) - 11 \ln (\frac{| e |}{| 1 |})$

Этап 9.3.2.2

Сократим общий множитель.

$2 \cdot 2 \frac{e^{2}}{2} + 4 (- \frac{1}{2}) - 11 \ln (\frac{| e |}{| 1 |})$

Этап 9.3.2.3

Перепишем это выражение.

$2 e^{2} + 4 (- \frac{1}{2}) - 11 \ln (\frac{| e |}{| 1 |})$

Этап 9.3.3

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.3.3.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{1}{2}$ в числитель.

$2 e^{2} + 4 (\frac{- 1}{2}) - 11 \ln (\frac{| e |}{| 1 |})$

Этап 9.3.3.2

Вынесем множитель $2$ из $4$ .

$2 e^{2} + 2 (2) \frac{- 1}{2} - 11 \ln (\frac{| e |}{| 1 |})$

Этап 9.3.3.3

Сократим общий множитель.

$2 e^{2} + 2 \cdot 2 \frac{- 1}{2} - 11 \ln (\frac{| e |}{| 1 |})$

Этап 9.3.3.4

Перепишем это выражение.

$2 e^{2} + 2 \cdot - 1 - 11 \ln (\frac{| e |}{| 1 |})$

Этап 9.3.4

Умножим $2$ на $- 1$ .

$2 e^{2} - 2 - 11 \ln (\frac{| e |}{| 1 |})$

Этап 9.3.5

$e$ приблизительно равно $2.71828182$ . Это положительное число, поэтому вычтем абсолютное значение.

$2 e^{2} - 2 - 11 \ln (\frac{e}{| 1 |})$

Этап 9.3.6

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $1$ равно $1$ .

$2 e^{2} - 2 - 11 \ln (\frac{e}{1})$

Этап 9.3.7

Разделим $e$ на $1$ .

$2 e^{2} - 2 - 11 \ln (e)$

Этап 9.3.8

Натуральный логарифм $e$ равен $1$ .

$2 e^{2} - 2 - 11 \cdot 1$

Этап 9.3.9

Умножим $- 11$ на $1$ .

$2 e^{2} - 2 - 11$

Этап 9.3.10

Вычтем $11$ из $- 2$ .

$2 e^{2} - 13$

Этап 10

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$2 e^{2} - 13$

Десятичная форма:

$1.77811219 \dots$

Этап 11