Математический анализ Примеры

$\int 18 t^{2} e^{- t^{3}} d t$

Этап 1

Поскольку $18$ — константа по отношению к $t$ , вынесем $18$ из-под знака интеграла.

$18 \int t^{2} e^{- t^{3}} d t$

Этап 2

Пусть $u = - t^{3}$ . Тогда $d u = - 3 t^{2} d t$ , следовательно $- \frac{1}{3} d u = t^{2} d t$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Пусть $u = - t^{3}$ . Найдем $\frac{d u}{d t}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Дифференцируем $- t^{3}$ .

$\frac{d}{d t} [- t^{3}]$

Этап 2.1.2

Поскольку $- 1$ является константой относительно $t$ , производная $- t^{3}$ по $t$ равна $- \frac{d}{d t} [t^{3}]$ .

$- \frac{d}{d t} [t^{3}]$

Этап 2.1.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ имеет вид $n t^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$- (3 t^{2})$

Этап 2.1.4

Умножим $3$ на $- 1$ .

$- 3 t^{2}$

Этап 2.2

Переформулируем задачу с помощью $u$ и $d u$ .

$18 \int e^{u} \frac{1}{- 3} d u$

Этап 3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$18 \int e^{u} (- \frac{1}{3}) d u$

Этап 3.2

Объединим $e^{u}$ и $\frac{1}{3}$ .

$18 \int - \frac{e^{u}}{3} d u$

Этап 4

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$18 (- \int \frac{e^{u}}{3} d u)$

Этап 5

Умножим $- 1$ на $18$ .

$- 18 \int \frac{e^{u}}{3} d u$

Этап 6

Поскольку $\frac{1}{3}$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $\frac{1}{3}$ из-под знака интеграла.

$- 18 (\frac{1}{3} \int e^{u} d u)$

Этап 7

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Объединим $\frac{1}{3}$ и $- 18$ .

$\frac{- 18}{3} \int e^{u} d u$

Этап 7.2

Сократим общий множитель $- 18$ и $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1

Вынесем множитель $3$ из $- 18$ .

$\frac{3 \cdot - 6}{3} \int e^{u} d u$

Этап 7.2.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.2.1

Вынесем множитель $3$ из $3$ .

$\frac{3 \cdot - 6}{3 (1)} \int e^{u} d u$

Этап 7.2.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{3 \cdot - 6}{3 \cdot 1} \int e^{u} d u$

Этап 7.2.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{- 6}{1} \int e^{u} d u$

Этап 7.2.2.4

Разделим $- 6$ на $1$ .

$- 6 \int e^{u} d u$

Этап 8

Интеграл $e^{u}$ по $u$ имеет вид $e^{u}$ .

$- 6 (e^{u} + C)$

Этап 9

Упростим.

$- 6 e^{u} + C$

Этап 10

Заменим все вхождения $u$ на $- t^{3}$ .

$- 6 e^{- t^{3}} + C$