Математический анализ Примеры

$\int_{- 2}^{0} 4 x^{2} + 4 x d x$

Этап 1

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int_{- 2}^{0} 4 x^{2} d x + \int_{- 2}^{0} 4 x d x$

Этап 2

Поскольку $4$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $4$ из-под знака интеграла.

$4 \int_{- 2}^{0} x^{2} d x + \int_{- 2}^{0} 4 x d x$

Этап 3

По правилу степени интеграл $x^{2}$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$4 (\frac{1}{3} x^{3}]_{- 2}^{0}) + \int_{- 2}^{0} 4 x d x$

Этап 4

Объединим $\frac{1}{3}$ и $x^{3}$ .

$4 (\frac{x^{3}}{3}]_{- 2}^{0}) + \int_{- 2}^{0} 4 x d x$

Этап 5

Поскольку $4$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $4$ из-под знака интеграла.

$4 (\frac{x^{3}}{3}]_{- 2}^{0}) + 4 \int_{- 2}^{0} x d x$

Этап 6

По правилу степени интеграл $x$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$4 (\frac{x^{3}}{3}]_{- 2}^{0}) + 4 (\frac{1}{2} x^{2}]_{- 2}^{0})$

Этап 7

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Объединим $\frac{1}{2}$ и $x^{2}$ .

$4 (\frac{x^{3}}{3}]_{- 2}^{0}) + 4 (\frac{x^{2}}{2}]_{- 2}^{0})$

Этап 7.2

Подставим и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1

Найдем значение $\frac{x^{3}}{3}$ в $0$ и в $- 2$ .

$4 ((\frac{0^{3}}{3}) - \frac{{(- 2)}^{3}}{3}) + 4 (\frac{x^{2}}{2}]_{- 2}^{0})$

Этап 7.2.2

Найдем значение $\frac{x^{2}}{2}$ в $0$ и в $- 2$ .

$4 (\frac{0^{3}}{3} - \frac{{(- 2)}^{3}}{3}) + 4 (\frac{0^{2}}{2} - \frac{{(- 2)}^{2}}{2})$

Этап 7.2.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.3.1

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$4 (\frac{0}{3} - \frac{{(- 2)}^{3}}{3}) + 4 (\frac{0^{2}}{2} - \frac{{(- 2)}^{2}}{2})$

Этап 7.2.3.2

Сократим общий множитель $0$ и $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.3.2.1

Вынесем множитель $3$ из $0$ .

$4 (\frac{3 (0)}{3} - \frac{{(- 2)}^{3}}{3}) + 4 (\frac{0^{2}}{2} - \frac{{(- 2)}^{2}}{2})$

Этап 7.2.3.2.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.3.2.2.1

Вынесем множитель $3$ из $3$ .

$4 (\frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1} - \frac{{(- 2)}^{3}}{3}) + 4 (\frac{0^{2}}{2} - \frac{{(- 2)}^{2}}{2})$

Этап 7.2.3.2.2.2

Сократим общий множитель.

$4 (\frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1} - \frac{{(- 2)}^{3}}{3}) + 4 (\frac{0^{2}}{2} - \frac{{(- 2)}^{2}}{2})$

Этап 7.2.3.2.2.3

Перепишем это выражение.

$4 (\frac{0}{1} - \frac{{(- 2)}^{3}}{3}) + 4 (\frac{0^{2}}{2} - \frac{{(- 2)}^{2}}{2})$

Этап 7.2.3.2.2.4

Разделим $0$ на $1$ .

$4 (0 - \frac{{(- 2)}^{3}}{3}) + 4 (\frac{0^{2}}{2} - \frac{{(- 2)}^{2}}{2})$

Этап 7.2.3.3

Возведем $- 2$ в степень $3$ .

$4 (0 - \frac{- 8}{3}) + 4 (\frac{0^{2}}{2} - \frac{{(- 2)}^{2}}{2})$

Этап 7.2.3.4

Вынесем знак минуса перед дробью.

$4 (0 - - \frac{8}{3}) + 4 (\frac{0^{2}}{2} - \frac{{(- 2)}^{2}}{2})$

Этап 7.2.3.5

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$4 (0 + 1 (\frac{8}{3})) + 4 (\frac{0^{2}}{2} - \frac{{(- 2)}^{2}}{2})$

Этап 7.2.3.6

Умножим $\frac{8}{3}$ на $1$ .

$4 (0 + \frac{8}{3}) + 4 (\frac{0^{2}}{2} - \frac{{(- 2)}^{2}}{2})$

Этап 7.2.3.7

Добавим $0$ и $\frac{8}{3}$ .

$4 (\frac{8}{3}) + 4 (\frac{0^{2}}{2} - \frac{{(- 2)}^{2}}{2})$

Этап 7.2.3.8

Объединим $4$ и $\frac{8}{3}$ .

$\frac{4 \cdot 8}{3} + 4 (\frac{0^{2}}{2} - \frac{{(- 2)}^{2}}{2})$

Этап 7.2.3.9

Умножим $4$ на $8$ .

$\frac{32}{3} + 4 (\frac{0^{2}}{2} - \frac{{(- 2)}^{2}}{2})$

Этап 7.2.3.10

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$\frac{32}{3} + 4 (\frac{0}{2} - \frac{{(- 2)}^{2}}{2})$

Этап 7.2.3.11

Сократим общий множитель $0$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.3.11.1

Вынесем множитель $2$ из $0$ .

$\frac{32}{3} + 4 (\frac{2 (0)}{2} - \frac{{(- 2)}^{2}}{2})$

Этап 7.2.3.11.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.3.11.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$\frac{32}{3} + 4 (\frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1} - \frac{{(- 2)}^{2}}{2})$

Этап 7.2.3.11.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{32}{3} + 4 (\frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1} - \frac{{(- 2)}^{2}}{2})$

Этап 7.2.3.11.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{32}{3} + 4 (\frac{0}{1} - \frac{{(- 2)}^{2}}{2})$

Этап 7.2.3.11.2.4

Разделим $0$ на $1$ .

$\frac{32}{3} + 4 (0 - \frac{{(- 2)}^{2}}{2})$

Этап 7.2.3.12

Возведем $- 2$ в степень $2$ .

$\frac{32}{3} + 4 (0 - \frac{4}{2})$

Этап 7.2.3.13

Сократим общий множитель $4$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.3.13.1

Вынесем множитель $2$ из $4$ .

$\frac{32}{3} + 4 (0 - \frac{2 \cdot 2}{2})$

Этап 7.2.3.13.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.3.13.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$\frac{32}{3} + 4 (0 - \frac{2 \cdot 2}{2 (1)})$

Этап 7.2.3.13.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{32}{3} + 4 (0 - \frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1})$

Этап 7.2.3.13.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{32}{3} + 4 (0 - \frac{2}{1})$

Этап 7.2.3.13.2.4

Разделим $2$ на $1$ .

$\frac{32}{3} + 4 (0 - 1 \cdot 2)$

Этап 7.2.3.14

Умножим $- 1$ на $2$ .

$\frac{32}{3} + 4 (0 - 2)$

Этап 7.2.3.15

Вычтем $2$ из $0$ .

$\frac{32}{3} + 4 \cdot - 2$

Этап 7.2.3.16

Умножим $4$ на $- 2$ .

$\frac{32}{3} - 8$

Этап 7.2.3.17

Чтобы записать $- 8$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

$\frac{32}{3} - 8 \cdot \frac{3}{3}$

Этап 7.2.3.18

Объединим $- 8$ и $\frac{3}{3}$ .

$\frac{32}{3} + \frac{- 8 \cdot 3}{3}$

Этап 7.2.3.19

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{32 - 8 \cdot 3}{3}$

Этап 7.2.3.20

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.3.20.1

Умножим $- 8$ на $3$ .

$\frac{32 - 24}{3}$

Этап 7.2.3.20.2

Вычтем $24$ из $32$ .

$\frac{8}{3}$

Этап 8

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$\frac{8}{3}$

Десятичная форма:

$2.\overline{6}$

Форма смешанных чисел:

$2 \frac{2}{3}$

Этап 9