Математический анализ Примеры

$\int_{2}^{3} - x^{2} + 5 x - 6 d x$

Этап 1

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int_{2}^{3} - x^{2} d x + \int_{2}^{3} 5 x d x + \int_{2}^{3} - 6 d x$

Этап 2

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$- \int_{2}^{3} x^{2} d x + \int_{2}^{3} 5 x d x + \int_{2}^{3} - 6 d x$

Этап 3

По правилу степени интеграл $x^{2}$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$- (\frac{1}{3} x^{3}]_{2}^{3}) + \int_{2}^{3} 5 x d x + \int_{2}^{3} - 6 d x$

Этап 4

Объединим $\frac{1}{3}$ и $x^{3}$ .

$- (\frac{x^{3}}{3}]_{2}^{3}) + \int_{2}^{3} 5 x d x + \int_{2}^{3} - 6 d x$

Этап 5

Поскольку $5$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $5$ из-под знака интеграла.

$- (\frac{x^{3}}{3}]_{2}^{3}) + 5 \int_{2}^{3} x d x + \int_{2}^{3} - 6 d x$

Этап 6

По правилу степени интеграл $x$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$- (\frac{x^{3}}{3}]_{2}^{3}) + 5 (\frac{1}{2} x^{2}]_{2}^{3}) + \int_{2}^{3} - 6 d x$

Этап 7

Объединим $\frac{1}{2}$ и $x^{2}$ .

$- (\frac{x^{3}}{3}]_{2}^{3}) + 5 (\frac{x^{2}}{2}]_{2}^{3}) + \int_{2}^{3} - 6 d x$

Этап 8

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$- (\frac{x^{3}}{3}]_{2}^{3}) + 5 (\frac{x^{2}}{2}]_{2}^{3}) + - 6 x]_{2}^{3}$

Этап 9

Подставим и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Найдем значение $\frac{x^{3}}{3}$ в $3$ и в $2$ .

$- ((\frac{3^{3}}{3}) - \frac{2^{3}}{3}) + 5 (\frac{x^{2}}{2}]_{2}^{3}) + - 6 x]_{2}^{3}$

Этап 9.2

Найдем значение $\frac{x^{2}}{2}$ в $3$ и в $2$ .

$- (\frac{3^{3}}{3} - \frac{2^{3}}{3}) + 5 (\frac{3^{2}}{2} - \frac{2^{2}}{2}) + - 6 x]_{2}^{3}$

Этап 9.3

Найдем значение $- 6 x$ в $3$ и в $2$ .

$- (\frac{3^{3}}{3} - \frac{2^{3}}{3}) + 5 (\frac{3^{2}}{2} - \frac{2^{2}}{2}) + (- 6 \cdot 3) + 6 \cdot 2$

Этап 9.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.4.1

Возведем $3$ в степень $3$ .

$- (\frac{27}{3} - \frac{2^{3}}{3}) + 5 (\frac{3^{2}}{2} - \frac{2^{2}}{2}) + (- 6 \cdot 3) + 6 \cdot 2$

Этап 9.4.2

Сократим общий множитель $27$ и $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.4.2.1

Вынесем множитель $3$ из $27$ .

$- (\frac{3 \cdot 9}{3} - \frac{2^{3}}{3}) + 5 (\frac{3^{2}}{2} - \frac{2^{2}}{2}) + (- 6 \cdot 3) + 6 \cdot 2$

Этап 9.4.2.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.4.2.2.1

Вынесем множитель $3$ из $3$ .

$- (\frac{3 \cdot 9}{3 (1)} - \frac{2^{3}}{3}) + 5 (\frac{3^{2}}{2} - \frac{2^{2}}{2}) + (- 6 \cdot 3) + 6 \cdot 2$

Этап 9.4.2.2.2

Сократим общий множитель.

$- (\frac{3 \cdot 9}{3 \cdot 1} - \frac{2^{3}}{3}) + 5 (\frac{3^{2}}{2} - \frac{2^{2}}{2}) + (- 6 \cdot 3) + 6 \cdot 2$

Этап 9.4.2.2.3

Перепишем это выражение.

$- (\frac{9}{1} - \frac{2^{3}}{3}) + 5 (\frac{3^{2}}{2} - \frac{2^{2}}{2}) + (- 6 \cdot 3) + 6 \cdot 2$

Этап 9.4.2.2.4

Разделим $9$ на $1$ .

$- (9 - \frac{2^{3}}{3}) + 5 (\frac{3^{2}}{2} - \frac{2^{2}}{2}) + (- 6 \cdot 3) + 6 \cdot 2$

Этап 9.4.3

Возведем $2$ в степень $3$ .

$- (9 - \frac{8}{3}) + 5 (\frac{3^{2}}{2} - \frac{2^{2}}{2}) + (- 6 \cdot 3) + 6 \cdot 2$

Этап 9.4.4

Чтобы записать $9$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

$- (9 \cdot \frac{3}{3} - \frac{8}{3}) + 5 (\frac{3^{2}}{2} - \frac{2^{2}}{2}) + (- 6 \cdot 3) + 6 \cdot 2$

Этап 9.4.5

Объединим $9$ и $\frac{3}{3}$ .

$- (\frac{9 \cdot 3}{3} - \frac{8}{3}) + 5 (\frac{3^{2}}{2} - \frac{2^{2}}{2}) + (- 6 \cdot 3) + 6 \cdot 2$

Этап 9.4.6

Объединим числители над общим знаменателем.

$- \frac{9 \cdot 3 - 8}{3} + 5 (\frac{3^{2}}{2} - \frac{2^{2}}{2}) + (- 6 \cdot 3) + 6 \cdot 2$

Этап 9.4.7

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.4.7.1

Умножим $9$ на $3$ .

$- \frac{27 - 8}{3} + 5 (\frac{3^{2}}{2} - \frac{2^{2}}{2}) + (- 6 \cdot 3) + 6 \cdot 2$

Этап 9.4.7.2

Вычтем $8$ из $27$ .

$- \frac{19}{3} + 5 (\frac{3^{2}}{2} - \frac{2^{2}}{2}) + (- 6 \cdot 3) + 6 \cdot 2$

Этап 9.4.8

Возведем $3$ в степень $2$ .

$- \frac{19}{3} + 5 (\frac{9}{2} - \frac{2^{2}}{2}) + (- 6 \cdot 3) + 6 \cdot 2$

Этап 9.4.9

Возведем $2$ в степень $2$ .

$- \frac{19}{3} + 5 (\frac{9}{2} - \frac{4}{2}) + (- 6 \cdot 3) + 6 \cdot 2$

Этап 9.4.10

Сократим общий множитель $4$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.4.10.1

Вынесем множитель $2$ из $4$ .

$- \frac{19}{3} + 5 (\frac{9}{2} - \frac{2 \cdot 2}{2}) + (- 6 \cdot 3) + 6 \cdot 2$

Этап 9.4.10.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.4.10.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$- \frac{19}{3} + 5 (\frac{9}{2} - \frac{2 \cdot 2}{2 (1)}) + (- 6 \cdot 3) + 6 \cdot 2$

Этап 9.4.10.2.2

Сократим общий множитель.

$- \frac{19}{3} + 5 (\frac{9}{2} - \frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1}) + (- 6 \cdot 3) + 6 \cdot 2$

Этап 9.4.10.2.3

Перепишем это выражение.

$- \frac{19}{3} + 5 (\frac{9}{2} - \frac{2}{1}) + (- 6 \cdot 3) + 6 \cdot 2$

Этап 9.4.10.2.4

Разделим $2$ на $1$ .

$- \frac{19}{3} + 5 (\frac{9}{2} - 1 \cdot 2) + (- 6 \cdot 3) + 6 \cdot 2$

Этап 9.4.11

Умножим $- 1$ на $2$ .

$- \frac{19}{3} + 5 (\frac{9}{2} - 2) + (- 6 \cdot 3) + 6 \cdot 2$

Этап 9.4.12

Чтобы записать $- 2$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{19}{3} + 5 (\frac{9}{2} - 2 \cdot \frac{2}{2}) + (- 6 \cdot 3) + 6 \cdot 2$

Этап 9.4.13

Объединим $- 2$ и $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{19}{3} + 5 (\frac{9}{2} + \frac{- 2 \cdot 2}{2}) + (- 6 \cdot 3) + 6 \cdot 2$

Этап 9.4.14

Объединим числители над общим знаменателем.

$- \frac{19}{3} + 5 \frac{9 - 2 \cdot 2}{2} + (- 6 \cdot 3) + 6 \cdot 2$

Этап 9.4.15

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.4.15.1

Умножим $- 2$ на $2$ .

$- \frac{19}{3} + 5 \frac{9 - 4}{2} + (- 6 \cdot 3) + 6 \cdot 2$

Этап 9.4.15.2

Вычтем $4$ из $9$ .

$- \frac{19}{3} + 5 (\frac{5}{2}) + (- 6 \cdot 3) + 6 \cdot 2$

Этап 9.4.16

Объединим $5$ и $\frac{5}{2}$ .

$- \frac{19}{3} + \frac{5 \cdot 5}{2} + (- 6 \cdot 3) + 6 \cdot 2$

Этап 9.4.17

Умножим $5$ на $5$ .

$- \frac{19}{3} + \frac{25}{2} + (- 6 \cdot 3) + 6 \cdot 2$

Этап 9.4.18

Чтобы записать $- \frac{19}{3}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{19}{3} \cdot \frac{2}{2} + \frac{25}{2} + (- 6 \cdot 3) + 6 \cdot 2$

Этап 9.4.19

Чтобы записать $\frac{25}{2}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{19}{3} \cdot \frac{2}{2} + \frac{25}{2} \cdot \frac{3}{3} + (- 6 \cdot 3) + 6 \cdot 2$

Этап 9.4.20

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $6$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.4.20.1

Умножим $\frac{19}{3}$ на $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{19 \cdot 2}{3 \cdot 2} + \frac{25}{2} \cdot \frac{3}{3} + (- 6 \cdot 3) + 6 \cdot 2$

Этап 9.4.20.2

Умножим $3$ на $2$ .

$- \frac{19 \cdot 2}{6} + \frac{25}{2} \cdot \frac{3}{3} + (- 6 \cdot 3) + 6 \cdot 2$

Этап 9.4.20.3

Умножим $\frac{25}{2}$ на $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{19 \cdot 2}{6} + \frac{25 \cdot 3}{2 \cdot 3} + (- 6 \cdot 3) + 6 \cdot 2$

Этап 9.4.20.4

Умножим $2$ на $3$ .

$- \frac{19 \cdot 2}{6} + \frac{25 \cdot 3}{6} + (- 6 \cdot 3) + 6 \cdot 2$

Этап 9.4.21

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{- 19 \cdot 2 + 25 \cdot 3}{6} + (- 6 \cdot 3) + 6 \cdot 2$

Этап 9.4.22

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.4.22.1

Умножим $- 19$ на $2$ .

$\frac{- 38 + 25 \cdot 3}{6} + (- 6 \cdot 3) + 6 \cdot 2$

Этап 9.4.22.2

Умножим $25$ на $3$ .

$\frac{- 38 + 75}{6} + (- 6 \cdot 3) + 6 \cdot 2$

Этап 9.4.22.3

Добавим $- 38$ и $75$ .

$\frac{37}{6} + (- 6 \cdot 3) + 6 \cdot 2$

Этап 9.4.23

Умножим $- 6$ на $3$ .

$\frac{37}{6} - 18 + 6 \cdot 2$

Этап 9.4.24

Умножим $6$ на $2$ .

$\frac{37}{6} - 18 + 12$

Этап 9.4.25

Добавим $- 18$ и $12$ .

$\frac{37}{6} - 6$

Этап 9.4.26

Чтобы записать $- 6$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{6}{6}$ .

$\frac{37}{6} - 6 \cdot \frac{6}{6}$

Этап 9.4.27

Объединим $- 6$ и $\frac{6}{6}$ .

$\frac{37}{6} + \frac{- 6 \cdot 6}{6}$

Этап 9.4.28

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{37 - 6 \cdot 6}{6}$

Этап 9.4.29

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.4.29.1

Умножим $- 6$ на $6$ .

$\frac{37 - 36}{6}$

Этап 9.4.29.2

Вычтем $36$ из $37$ .

$\frac{1}{6}$

Этап 10

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$\frac{1}{6}$

Десятичная форма:

$0.1\overline{6}$

Этап 11