Математический анализ Примеры

$\int_{1}^{4} 4 x^{3} - 2 x^{2} + 3 x + 1 d x$

Этап 1

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int_{1}^{4} 4 x^{3} d x + \int_{1}^{4} - 2 x^{2} d x + \int_{1}^{4} 3 x d x + \int_{1}^{4} d x$

Этап 2

Поскольку $4$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $4$ из-под знака интеграла.

$4 \int_{1}^{4} x^{3} d x + \int_{1}^{4} - 2 x^{2} d x + \int_{1}^{4} 3 x d x + \int_{1}^{4} d x$

Этап 3

По правилу степени интеграл $x^{3}$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{4} x^{4}$ .

$4 (\frac{1}{4} x^{4}]_{1}^{4}) + \int_{1}^{4} - 2 x^{2} d x + \int_{1}^{4} 3 x d x + \int_{1}^{4} d x$

Этап 4

Объединим $\frac{1}{4}$ и $x^{4}$ .

$4 (\frac{x^{4}}{4}]_{1}^{4}) + \int_{1}^{4} - 2 x^{2} d x + \int_{1}^{4} 3 x d x + \int_{1}^{4} d x$

Этап 5

Поскольку $- 2$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- 2$ из-под знака интеграла.

$4 (\frac{x^{4}}{4}]_{1}^{4}) - 2 \int_{1}^{4} x^{2} d x + \int_{1}^{4} 3 x d x + \int_{1}^{4} d x$

Этап 6

По правилу степени интеграл $x^{2}$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$4 (\frac{x^{4}}{4}]_{1}^{4}) - 2 (\frac{1}{3} x^{3}]_{1}^{4}) + \int_{1}^{4} 3 x d x + \int_{1}^{4} d x$

Этап 7

Объединим $\frac{1}{3}$ и $x^{3}$ .

$4 (\frac{x^{4}}{4}]_{1}^{4}) - 2 (\frac{x^{3}}{3}]_{1}^{4}) + \int_{1}^{4} 3 x d x + \int_{1}^{4} d x$

Этап 8

Поскольку $3$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $3$ из-под знака интеграла.

$4 (\frac{x^{4}}{4}]_{1}^{4}) - 2 (\frac{x^{3}}{3}]_{1}^{4}) + 3 \int_{1}^{4} x d x + \int_{1}^{4} d x$

Этап 9

По правилу степени интеграл $x$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$4 (\frac{x^{4}}{4}]_{1}^{4}) - 2 (\frac{x^{3}}{3}]_{1}^{4}) + 3 (\frac{1}{2} x^{2}]_{1}^{4}) + \int_{1}^{4} d x$

Этап 10

Объединим $\frac{1}{2}$ и $x^{2}$ .

$4 (\frac{x^{4}}{4}]_{1}^{4}) - 2 (\frac{x^{3}}{3}]_{1}^{4}) + 3 (\frac{x^{2}}{2}]_{1}^{4}) + \int_{1}^{4} d x$

Этап 11

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$4 (\frac{x^{4}}{4}]_{1}^{4}) - 2 (\frac{x^{3}}{3}]_{1}^{4}) + 3 (\frac{x^{2}}{2}]_{1}^{4}) + x]_{1}^{4}$

Этап 12

Подставим и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1

Найдем значение $\frac{x^{4}}{4}$ в $4$ и в $1$ .

$4 ((\frac{4^{4}}{4}) - \frac{1^{4}}{4}) - 2 (\frac{x^{3}}{3}]_{1}^{4}) + 3 (\frac{x^{2}}{2}]_{1}^{4}) + x]_{1}^{4}$

Этап 12.2

Найдем значение $\frac{x^{3}}{3}$ в $4$ и в $1$ .

$4 (\frac{4^{4}}{4} - \frac{1^{4}}{4}) - 2 (\frac{4^{3}}{3} - \frac{1^{3}}{3}) + 3 (\frac{x^{2}}{2}]_{1}^{4}) + x]_{1}^{4}$

Этап 12.3

Найдем значение $\frac{x^{2}}{2}$ в $4$ и в $1$ .

$4 (\frac{4^{4}}{4} - \frac{1^{4}}{4}) - 2 (\frac{4^{3}}{3} - \frac{1^{3}}{3}) + 3 ((\frac{4^{2}}{2}) - \frac{1^{2}}{2}) + x]_{1}^{4}$

Этап 12.4

Найдем значение $x$ в $4$ и в $1$ .

$4 (\frac{4^{4}}{4} - \frac{1^{4}}{4}) - 2 (\frac{4^{3}}{3} - \frac{1^{3}}{3}) + 3 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2}) + 4 - 1$

Этап 12.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.5.1

Возведем $4$ в степень $4$ .

$4 (\frac{256}{4} - \frac{1^{4}}{4}) - 2 (\frac{4^{3}}{3} - \frac{1^{3}}{3}) + 3 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2}) + 4 - 1$

Этап 12.5.2

Сократим общий множитель $256$ и $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.5.2.1

Вынесем множитель $4$ из $256$ .

$4 (\frac{4 \cdot 64}{4} - \frac{1^{4}}{4}) - 2 (\frac{4^{3}}{3} - \frac{1^{3}}{3}) + 3 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2}) + 4 - 1$

Этап 12.5.2.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.5.2.2.1

Вынесем множитель $4$ из $4$ .

$4 (\frac{4 \cdot 64}{4 (1)} - \frac{1^{4}}{4}) - 2 (\frac{4^{3}}{3} - \frac{1^{3}}{3}) + 3 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2}) + 4 - 1$

Этап 12.5.2.2.2

Сократим общий множитель.

$4 (\frac{4 \cdot 64}{4 \cdot 1} - \frac{1^{4}}{4}) - 2 (\frac{4^{3}}{3} - \frac{1^{3}}{3}) + 3 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2}) + 4 - 1$

Этап 12.5.2.2.3

Перепишем это выражение.

$4 (\frac{64}{1} - \frac{1^{4}}{4}) - 2 (\frac{4^{3}}{3} - \frac{1^{3}}{3}) + 3 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2}) + 4 - 1$

Этап 12.5.2.2.4

Разделим $64$ на $1$ .

$4 (64 - \frac{1^{4}}{4}) - 2 (\frac{4^{3}}{3} - \frac{1^{3}}{3}) + 3 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2}) + 4 - 1$

Этап 12.5.3

Единица в любой степени равна единице.

$4 (64 - \frac{1}{4}) - 2 (\frac{4^{3}}{3} - \frac{1^{3}}{3}) + 3 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2}) + 4 - 1$

Этап 12.5.4

Чтобы записать $64$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{4}{4}$ .

$4 (64 \cdot \frac{4}{4} - \frac{1}{4}) - 2 (\frac{4^{3}}{3} - \frac{1^{3}}{3}) + 3 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2}) + 4 - 1$

Этап 12.5.5

Объединим $64$ и $\frac{4}{4}$ .

$4 (\frac{64 \cdot 4}{4} - \frac{1}{4}) - 2 (\frac{4^{3}}{3} - \frac{1^{3}}{3}) + 3 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2}) + 4 - 1$

Этап 12.5.6

Объединим числители над общим знаменателем.

$4 \frac{64 \cdot 4 - 1}{4} - 2 (\frac{4^{3}}{3} - \frac{1^{3}}{3}) + 3 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2}) + 4 - 1$

Этап 12.5.7

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.5.7.1

Умножим $64$ на $4$ .

$4 \frac{256 - 1}{4} - 2 (\frac{4^{3}}{3} - \frac{1^{3}}{3}) + 3 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2}) + 4 - 1$

Этап 12.5.7.2

Вычтем $1$ из $256$ .

$4 (\frac{255}{4}) - 2 (\frac{4^{3}}{3} - \frac{1^{3}}{3}) + 3 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2}) + 4 - 1$

Этап 12.5.8

Объединим $4$ и $\frac{255}{4}$ .

$\frac{4 \cdot 255}{4} - 2 (\frac{4^{3}}{3} - \frac{1^{3}}{3}) + 3 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2}) + 4 - 1$

Этап 12.5.9

Умножим $4$ на $255$ .

$\frac{1020}{4} - 2 (\frac{4^{3}}{3} - \frac{1^{3}}{3}) + 3 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2}) + 4 - 1$

Этап 12.5.10

Сократим общий множитель $1020$ и $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.5.10.1

Вынесем множитель $4$ из $1020$ .

$\frac{4 \cdot 255}{4} - 2 (\frac{4^{3}}{3} - \frac{1^{3}}{3}) + 3 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2}) + 4 - 1$

Этап 12.5.10.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.5.10.2.1

Вынесем множитель $4$ из $4$ .

$\frac{4 \cdot 255}{4 (1)} - 2 (\frac{4^{3}}{3} - \frac{1^{3}}{3}) + 3 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2}) + 4 - 1$

Этап 12.5.10.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{4 \cdot 255}{4 \cdot 1} - 2 (\frac{4^{3}}{3} - \frac{1^{3}}{3}) + 3 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2}) + 4 - 1$

Этап 12.5.10.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{255}{1} - 2 (\frac{4^{3}}{3} - \frac{1^{3}}{3}) + 3 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2}) + 4 - 1$

Этап 12.5.10.2.4

Разделим $255$ на $1$ .

$255 - 2 (\frac{4^{3}}{3} - \frac{1^{3}}{3}) + 3 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2}) + 4 - 1$

Этап 12.5.11

Возведем $4$ в степень $3$ .

$255 - 2 (\frac{64}{3} - \frac{1^{3}}{3}) + 3 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2}) + 4 - 1$

Этап 12.5.12

Единица в любой степени равна единице.

$255 - 2 (\frac{64}{3} - \frac{1}{3}) + 3 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2}) + 4 - 1$

Этап 12.5.13

Объединим числители над общим знаменателем.

$255 - 2 \frac{64 - 1}{3} + 3 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2}) + 4 - 1$

Этап 12.5.14

Вычтем $1$ из $64$ .

$255 - 2 (\frac{63}{3}) + 3 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2}) + 4 - 1$

Этап 12.5.15

Сократим общий множитель $63$ и $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.5.15.1

Вынесем множитель $3$ из $63$ .

$255 - 2 \frac{3 \cdot 21}{3} + 3 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2}) + 4 - 1$

Этап 12.5.15.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.5.15.2.1

Вынесем множитель $3$ из $3$ .

$255 - 2 \frac{3 \cdot 21}{3 (1)} + 3 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2}) + 4 - 1$

Этап 12.5.15.2.2

Сократим общий множитель.

$255 - 2 \frac{3 \cdot 21}{3 \cdot 1} + 3 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2}) + 4 - 1$

Этап 12.5.15.2.3

Перепишем это выражение.

$255 - 2 (\frac{21}{1}) + 3 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2}) + 4 - 1$

Этап 12.5.15.2.4

Разделим $21$ на $1$ .

$255 - 2 \cdot 21 + 3 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2}) + 4 - 1$

Этап 12.5.16

Умножим $- 2$ на $21$ .

$255 - 42 + 3 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2}) + 4 - 1$

Этап 12.5.17

Вычтем $42$ из $255$ .

$213 + 3 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2}) + 4 - 1$

Этап 12.5.18

Возведем $4$ в степень $2$ .

$213 + 3 (\frac{16}{2} - \frac{1^{2}}{2}) + 4 - 1$

Этап 12.5.19

Сократим общий множитель $16$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.5.19.1

Вынесем множитель $2$ из $16$ .

$213 + 3 (\frac{2 \cdot 8}{2} - \frac{1^{2}}{2}) + 4 - 1$

Этап 12.5.19.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.5.19.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$213 + 3 (\frac{2 \cdot 8}{2 (1)} - \frac{1^{2}}{2}) + 4 - 1$

Этап 12.5.19.2.2

Сократим общий множитель.

$213 + 3 (\frac{2 \cdot 8}{2 \cdot 1} - \frac{1^{2}}{2}) + 4 - 1$

Этап 12.5.19.2.3

Перепишем это выражение.

$213 + 3 (\frac{8}{1} - \frac{1^{2}}{2}) + 4 - 1$

Этап 12.5.19.2.4

Разделим $8$ на $1$ .

$213 + 3 (8 - \frac{1^{2}}{2}) + 4 - 1$

Этап 12.5.20

Единица в любой степени равна единице.

$213 + 3 (8 - \frac{1}{2}) + 4 - 1$

Этап 12.5.21

Чтобы записать $8$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$213 + 3 (8 \cdot \frac{2}{2} - \frac{1}{2}) + 4 - 1$

Этап 12.5.22

Объединим $8$ и $\frac{2}{2}$ .

$213 + 3 (\frac{8 \cdot 2}{2} - \frac{1}{2}) + 4 - 1$

Этап 12.5.23

Объединим числители над общим знаменателем.

$213 + 3 \frac{8 \cdot 2 - 1}{2} + 4 - 1$

Этап 12.5.24

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.5.24.1

Умножим $8$ на $2$ .

$213 + 3 \frac{16 - 1}{2} + 4 - 1$

Этап 12.5.24.2

Вычтем $1$ из $16$ .

$213 + 3 (\frac{15}{2}) + 4 - 1$

Этап 12.5.25

Объединим $3$ и $\frac{15}{2}$ .

$213 + \frac{3 \cdot 15}{2} + 4 - 1$

Этап 12.5.26

Умножим $3$ на $15$ .

$213 + \frac{45}{2} + 4 - 1$

Этап 12.5.27

Чтобы записать $213$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$213 \cdot \frac{2}{2} + \frac{45}{2} + 4 - 1$

Этап 12.5.28

Объединим $213$ и $\frac{2}{2}$ .

$\frac{213 \cdot 2}{2} + \frac{45}{2} + 4 - 1$

Этап 12.5.29

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{213 \cdot 2 + 45}{2} + 4 - 1$

Этап 12.5.30

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.5.30.1

Умножим $213$ на $2$ .

$\frac{426 + 45}{2} + 4 - 1$

Этап 12.5.30.2

Добавим $426$ и $45$ .

$\frac{471}{2} + 4 - 1$

Этап 12.5.31

Вычтем $1$ из $4$ .

$\frac{471}{2} + 3$

Этап 12.5.32

Чтобы записать $3$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$\frac{471}{2} + 3 \cdot \frac{2}{2}$

Этап 12.5.33

Объединим $3$ и $\frac{2}{2}$ .

$\frac{471}{2} + \frac{3 \cdot 2}{2}$

Этап 12.5.34

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{471 + 3 \cdot 2}{2}$

Этап 12.5.35

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.5.35.1

Умножим $3$ на $2$ .

$\frac{471 + 6}{2}$

Этап 12.5.35.2

Добавим $471$ и $6$ .

$\frac{477}{2}$

Этап 13

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$\frac{477}{2}$

Десятичная форма:

$238.5$

Форма смешанных чисел:

$238 \frac{1}{2}$

Этап 14