Математический анализ Примеры

$\int_{1}^{4} 5 y \sqrt{y} + 3 \sqrt{y} d y$

Этап 1

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{y}$ в виде $y^{\frac{1}{2}}$ .

$\int_{1}^{4} 5 y \cdot y^{\frac{1}{2}} + 3 \sqrt{y} d y$

Этап 1.2

Умножим $y$ на $y^{\frac{1}{2}}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Перенесем $y^{\frac{1}{2}}$ .

$\int_{1}^{4} 5 (y^{\frac{1}{2}} y) + 3 \sqrt{y} d y$

Этап 1.2.2

Умножим $y^{\frac{1}{2}}$ на $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.1

Возведем $y$ в степень $1$ .

$\int_{1}^{4} 5 (y^{\frac{1}{2}} y^{1}) + 3 \sqrt{y} d y$

Этап 1.2.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\int_{1}^{4} 5 y^{\frac{1}{2} + 1} + 3 \sqrt{y} d y$

Этап 1.2.3

Запишем $1$ в виде дроби с общим знаменателем.

$\int_{1}^{4} 5 y^{\frac{1}{2} + \frac{2}{2}} + 3 \sqrt{y} d y$

Этап 1.2.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$\int_{1}^{4} 5 y^{\frac{1 + 2}{2}} + 3 \sqrt{y} d y$

Этап 1.2.5

Добавим $1$ и $2$ .

$\int_{1}^{4} 5 y^{\frac{3}{2}} + 3 \sqrt{y} d y$

Этап 2

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int_{1}^{4} 5 y^{\frac{3}{2}} d y + \int_{1}^{4} 3 \sqrt{y} d y$

Этап 3

Поскольку $5$ — константа по отношению к $y$ , вынесем $5$ из-под знака интеграла.

$5 \int_{1}^{4} y^{\frac{3}{2}} d y + \int_{1}^{4} 3 \sqrt{y} d y$

Этап 4

По правилу степени интеграл $y^{\frac{3}{2}}$ по $y$ имеет вид $\frac{2}{5} y^{\frac{5}{2}}$ .

$5 (\frac{2}{5} y^{\frac{5}{2}}]_{1}^{4}) + \int_{1}^{4} 3 \sqrt{y} d y$

Этап 5

Объединим $\frac{2}{5}$ и $y^{\frac{5}{2}}$ .

$5 (\frac{2 y^{\frac{5}{2}}}{5}]_{1}^{4}) + \int_{1}^{4} 3 \sqrt{y} d y$

Этап 6

Поскольку $3$ — константа по отношению к $y$ , вынесем $3$ из-под знака интеграла.

$5 (\frac{2 y^{\frac{5}{2}}}{5}]_{1}^{4}) + 3 \int_{1}^{4} \sqrt{y} d y$

Этап 7

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{y}$ в виде $y^{\frac{1}{2}}$ .

$5 (\frac{2 y^{\frac{5}{2}}}{5}]_{1}^{4}) + 3 \int_{1}^{4} y^{\frac{1}{2}} d y$

Этап 8

По правилу степени интеграл $y^{\frac{1}{2}}$ по $y$ имеет вид $\frac{2}{3} y^{\frac{3}{2}}$ .

$5 (\frac{2 y^{\frac{5}{2}}}{5}]_{1}^{4}) + 3 (\frac{2}{3} y^{\frac{3}{2}}]_{1}^{4})$

Этап 9

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Объединим $\frac{2}{3}$ и $y^{\frac{3}{2}}$ .

$5 (\frac{2 y^{\frac{5}{2}}}{5}]_{1}^{4}) + 3 (\frac{2 y^{\frac{3}{2}}}{3}]_{1}^{4})$

Этап 9.2

Подставим и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.1

Найдем значение $\frac{2 y^{\frac{5}{2}}}{5}$ в $4$ и в $1$ .

$5 ((\frac{2 \cdot 4^{\frac{5}{2}}}{5}) - \frac{2 \cdot 1^{\frac{5}{2}}}{5}) + 3 (\frac{2 y^{\frac{3}{2}}}{3}]_{1}^{4})$

Этап 9.2.2

Найдем значение $\frac{2 y^{\frac{3}{2}}}{3}$ в $4$ и в $1$ .

$5 (\frac{2 \cdot 4^{\frac{5}{2}}}{5} - \frac{2 \cdot 1^{\frac{5}{2}}}{5}) + 3 (\frac{2 \cdot 4^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2 \cdot 1^{\frac{3}{2}}}{3})$

Этап 9.2.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.3.1

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$5 (\frac{2 \cdot {(2^{2})}^{\frac{5}{2}}}{5} - \frac{2 \cdot 1^{\frac{5}{2}}}{5}) + 3 (\frac{2 \cdot 4^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2 \cdot 1^{\frac{3}{2}}}{3})$

Этап 9.2.3.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$5 (\frac{2 \cdot 2^{2 (\frac{5}{2})}}{5} - \frac{2 \cdot 1^{\frac{5}{2}}}{5}) + 3 (\frac{2 \cdot 4^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2 \cdot 1^{\frac{3}{2}}}{3})$

Этап 9.2.3.3

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.3.3.1

Сократим общий множитель.

$5 (\frac{2 \cdot 2^{2 (\frac{5}{2})}}{5} - \frac{2 \cdot 1^{\frac{5}{2}}}{5}) + 3 (\frac{2 \cdot 4^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2 \cdot 1^{\frac{3}{2}}}{3})$

Этап 9.2.3.3.2

Перепишем это выражение.

$5 (\frac{2 \cdot 2^{5}}{5} - \frac{2 \cdot 1^{\frac{5}{2}}}{5}) + 3 (\frac{2 \cdot 4^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2 \cdot 1^{\frac{3}{2}}}{3})$

Этап 9.2.3.4

Возведем $2$ в степень $5$ .

$5 (\frac{2 \cdot 32}{5} - \frac{2 \cdot 1^{\frac{5}{2}}}{5}) + 3 (\frac{2 \cdot 4^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2 \cdot 1^{\frac{3}{2}}}{3})$

Этап 9.2.3.5

Умножим $2$ на $32$ .

$5 (\frac{64}{5} - \frac{2 \cdot 1^{\frac{5}{2}}}{5}) + 3 (\frac{2 \cdot 4^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2 \cdot 1^{\frac{3}{2}}}{3})$

Этап 9.2.3.6

Единица в любой степени равна единице.

$5 (\frac{64}{5} - \frac{2 \cdot 1}{5}) + 3 (\frac{2 \cdot 4^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2 \cdot 1^{\frac{3}{2}}}{3})$

Этап 9.2.3.7

Умножим $2$ на $1$ .

$5 (\frac{64}{5} - \frac{2}{5}) + 3 (\frac{2 \cdot 4^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2 \cdot 1^{\frac{3}{2}}}{3})$

Этап 9.2.3.8

Объединим числители над общим знаменателем.

$5 \frac{64 - 2}{5} + 3 (\frac{2 \cdot 4^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2 \cdot 1^{\frac{3}{2}}}{3})$

Этап 9.2.3.9

Вычтем $2$ из $64$ .

$5 (\frac{62}{5}) + 3 (\frac{2 \cdot 4^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2 \cdot 1^{\frac{3}{2}}}{3})$

Этап 9.2.3.10

Объединим $5$ и $\frac{62}{5}$ .

$\frac{5 \cdot 62}{5} + 3 (\frac{2 \cdot 4^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2 \cdot 1^{\frac{3}{2}}}{3})$

Этап 9.2.3.11

Умножим $5$ на $62$ .

$\frac{310}{5} + 3 (\frac{2 \cdot 4^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2 \cdot 1^{\frac{3}{2}}}{3})$

Этап 9.2.3.12

Сократим общий множитель $310$ и $5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.3.12.1

Вынесем множитель $5$ из $310$ .

$\frac{5 \cdot 62}{5} + 3 (\frac{2 \cdot 4^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2 \cdot 1^{\frac{3}{2}}}{3})$

Этап 9.2.3.12.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.3.12.2.1

Вынесем множитель $5$ из $5$ .

$\frac{5 \cdot 62}{5 (1)} + 3 (\frac{2 \cdot 4^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2 \cdot 1^{\frac{3}{2}}}{3})$

Этап 9.2.3.12.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{5 \cdot 62}{5 \cdot 1} + 3 (\frac{2 \cdot 4^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2 \cdot 1^{\frac{3}{2}}}{3})$

Этап 9.2.3.12.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{62}{1} + 3 (\frac{2 \cdot 4^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2 \cdot 1^{\frac{3}{2}}}{3})$

Этап 9.2.3.12.2.4

Разделим $62$ на $1$ .

$62 + 3 (\frac{2 \cdot 4^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2 \cdot 1^{\frac{3}{2}}}{3})$

Этап 9.2.3.13

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$62 + 3 (\frac{2 \cdot {(2^{2})}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2 \cdot 1^{\frac{3}{2}}}{3})$

Этап 9.2.3.14

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$62 + 3 (\frac{2 \cdot 2^{2 (\frac{3}{2})}}{3} - \frac{2 \cdot 1^{\frac{3}{2}}}{3})$

Этап 9.2.3.15

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.3.15.1

Сократим общий множитель.

$62 + 3 (\frac{2 \cdot 2^{2 (\frac{3}{2})}}{3} - \frac{2 \cdot 1^{\frac{3}{2}}}{3})$

Этап 9.2.3.15.2

Перепишем это выражение.

$62 + 3 (\frac{2 \cdot 2^{3}}{3} - \frac{2 \cdot 1^{\frac{3}{2}}}{3})$

Этап 9.2.3.16

Возведем $2$ в степень $3$ .

$62 + 3 (\frac{2 \cdot 8}{3} - \frac{2 \cdot 1^{\frac{3}{2}}}{3})$

Этап 9.2.3.17

Умножим $2$ на $8$ .

$62 + 3 (\frac{16}{3} - \frac{2 \cdot 1^{\frac{3}{2}}}{3})$

Этап 9.2.3.18

Единица в любой степени равна единице.

$62 + 3 (\frac{16}{3} - \frac{2 \cdot 1}{3})$

Этап 9.2.3.19

Умножим $2$ на $1$ .

$62 + 3 (\frac{16}{3} - \frac{2}{3})$

Этап 9.2.3.20

Объединим числители над общим знаменателем.

$62 + 3 \frac{16 - 2}{3}$

Этап 9.2.3.21

Вычтем $2$ из $16$ .

$62 + 3 (\frac{14}{3})$

Этап 9.2.3.22

Объединим $3$ и $\frac{14}{3}$ .

$62 + \frac{3 \cdot 14}{3}$

Этап 9.2.3.23

Умножим $3$ на $14$ .

$62 + \frac{42}{3}$

Этап 9.2.3.24

Сократим общий множитель $42$ и $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.3.24.1

Вынесем множитель $3$ из $42$ .

$62 + \frac{3 \cdot 14}{3}$

Этап 9.2.3.24.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.3.24.2.1

Вынесем множитель $3$ из $3$ .

$62 + \frac{3 \cdot 14}{3 (1)}$

Этап 9.2.3.24.2.2

Сократим общий множитель.

$62 + \frac{3 \cdot 14}{3 \cdot 1}$

Этап 9.2.3.24.2.3

Перепишем это выражение.

$62 + \frac{14}{1}$

Этап 9.2.3.24.2.4

Разделим $14$ на $1$ .

$62 + 14$

Этап 9.2.3.25

Добавим $62$ и $14$ .

$76$

Этап 10