Математический анализ Примеры

$\int_{1}^{4} (1 - u) \sqrt{u} d u$

Этап 1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{u}$ в виде $u^{\frac{1}{2}}$ .

$\int_{1}^{4} (1 - u) u^{\frac{1}{2}} d u$

Этап 2

Развернем $(1 - u) u^{\frac{1}{2}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\int_{1}^{4} 1 u^{\frac{1}{2}} - u \cdot u^{\frac{1}{2}} d u$

Этап 2.2

Умножим $u^{\frac{1}{2}}$ на $1$ .

$\int_{1}^{4} u^{\frac{1}{2}} - u \cdot u^{\frac{1}{2}} d u$

Этап 2.3

Вынесем за скобки отрицательное значение.

$\int_{1}^{4} u^{\frac{1}{2}} - (u \cdot u^{\frac{1}{2}}) d u$

Этап 2.4

Возведем $u$ в степень $1$ .

$\int_{1}^{4} u^{\frac{1}{2}} - (u^{1} u^{\frac{1}{2}}) d u$

Этап 2.5

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\int_{1}^{4} u^{\frac{1}{2}} - u^{1 + \frac{1}{2}} d u$

Этап 2.6

Запишем $1$ в виде дроби с общим знаменателем.

$\int_{1}^{4} u^{\frac{1}{2}} - u^{\frac{2}{2} + \frac{1}{2}} d u$

Этап 2.7

Объединим числители над общим знаменателем.

$\int_{1}^{4} u^{\frac{1}{2}} - u^{\frac{2 + 1}{2}} d u$

Этап 2.8

Добавим $2$ и $1$ .

$\int_{1}^{4} u^{\frac{1}{2}} - u^{\frac{3}{2}} d u$

Этап 3

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int_{1}^{4} u^{\frac{1}{2}} d u + \int_{1}^{4} - u^{\frac{3}{2}} d u$

Этап 4

По правилу степени интеграл $u^{\frac{1}{2}}$ по $u$ имеет вид $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}]_{1}^{4} + \int_{1}^{4} - u^{\frac{3}{2}} d u$

Этап 5

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}]_{1}^{4} - \int_{1}^{4} u^{\frac{3}{2}} d u$

Этап 6

По правилу степени интеграл $u^{\frac{3}{2}}$ по $u$ имеет вид $\frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}}$ .

$\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}]_{1}^{4} - (\frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}}]_{1}^{4})$

Этап 7

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Объединим $\frac{2}{5}$ и $u^{\frac{5}{2}}$ .

$\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}]_{1}^{4} - (\frac{2 u^{\frac{5}{2}}}{5}]_{1}^{4})$

Этап 7.2

Подставим и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1

Найдем значение $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ в $4$ и в $1$ .

$(\frac{2}{3} \cdot 4^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}} - (\frac{2 u^{\frac{5}{2}}}{5}]_{1}^{4})$

Этап 7.2.2

Найдем значение $\frac{2 u^{\frac{5}{2}}}{5}$ в $4$ и в $1$ .

$\frac{2}{3} \cdot 4^{\frac{3}{2}} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}} - (\frac{2 \cdot 4^{\frac{5}{2}}}{5} - \frac{2 \cdot 1^{\frac{5}{2}}}{5})$

Этап 7.2.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.3.1

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$\frac{2}{3} \cdot {(2^{2})}^{\frac{3}{2}} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}} - (\frac{2 \cdot 4^{\frac{5}{2}}}{5} - \frac{2 \cdot 1^{\frac{5}{2}}}{5})$

Этап 7.2.3.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{2}{3} \cdot 2^{2 (\frac{3}{2})} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}} - (\frac{2 \cdot 4^{\frac{5}{2}}}{5} - \frac{2 \cdot 1^{\frac{5}{2}}}{5})$

Этап 7.2.3.3

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.3.3.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2}{3} \cdot 2^{2 (\frac{3}{2})} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}} - (\frac{2 \cdot 4^{\frac{5}{2}}}{5} - \frac{2 \cdot 1^{\frac{5}{2}}}{5})$

Этап 7.2.3.3.2

Перепишем это выражение.

$\frac{2}{3} \cdot 2^{3} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}} - (\frac{2 \cdot 4^{\frac{5}{2}}}{5} - \frac{2 \cdot 1^{\frac{5}{2}}}{5})$

Этап 7.2.3.4

Возведем $2$ в степень $3$ .

$\frac{2}{3} \cdot 8 - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}} - (\frac{2 \cdot 4^{\frac{5}{2}}}{5} - \frac{2 \cdot 1^{\frac{5}{2}}}{5})$

Этап 7.2.3.5

Объединим $\frac{2}{3}$ и $8$ .

$\frac{2 \cdot 8}{3} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}} - (\frac{2 \cdot 4^{\frac{5}{2}}}{5} - \frac{2 \cdot 1^{\frac{5}{2}}}{5})$

Этап 7.2.3.6

Умножим $2$ на $8$ .

$\frac{16}{3} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}} - (\frac{2 \cdot 4^{\frac{5}{2}}}{5} - \frac{2 \cdot 1^{\frac{5}{2}}}{5})$

Этап 7.2.3.7

Единица в любой степени равна единице.

$\frac{16}{3} - \frac{2}{3} \cdot 1 - (\frac{2 \cdot 4^{\frac{5}{2}}}{5} - \frac{2 \cdot 1^{\frac{5}{2}}}{5})$

Этап 7.2.3.8

Умножим $- 1$ на $1$ .

$\frac{16}{3} - \frac{2}{3} - (\frac{2 \cdot 4^{\frac{5}{2}}}{5} - \frac{2 \cdot 1^{\frac{5}{2}}}{5})$

Этап 7.2.3.9

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{16 - 2}{3} - (\frac{2 \cdot 4^{\frac{5}{2}}}{5} - \frac{2 \cdot 1^{\frac{5}{2}}}{5})$

Этап 7.2.3.10

Вычтем $2$ из $16$ .

$\frac{14}{3} - (\frac{2 \cdot 4^{\frac{5}{2}}}{5} - \frac{2 \cdot 1^{\frac{5}{2}}}{5})$

Этап 7.2.3.11

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$\frac{14}{3} - (\frac{2 \cdot {(2^{2})}^{\frac{5}{2}}}{5} - \frac{2 \cdot 1^{\frac{5}{2}}}{5})$

Этап 7.2.3.12

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{14}{3} - (\frac{2 \cdot 2^{2 (\frac{5}{2})}}{5} - \frac{2 \cdot 1^{\frac{5}{2}}}{5})$

Этап 7.2.3.13

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.3.13.1

Сократим общий множитель.

$\frac{14}{3} - (\frac{2 \cdot 2^{2 (\frac{5}{2})}}{5} - \frac{2 \cdot 1^{\frac{5}{2}}}{5})$

Этап 7.2.3.13.2

Перепишем это выражение.

$\frac{14}{3} - (\frac{2 \cdot 2^{5}}{5} - \frac{2 \cdot 1^{\frac{5}{2}}}{5})$

Этап 7.2.3.14

Возведем $2$ в степень $5$ .

$\frac{14}{3} - (\frac{2 \cdot 32}{5} - \frac{2 \cdot 1^{\frac{5}{2}}}{5})$

Этап 7.2.3.15

Умножим $2$ на $32$ .

$\frac{14}{3} - (\frac{64}{5} - \frac{2 \cdot 1^{\frac{5}{2}}}{5})$

Этап 7.2.3.16

Единица в любой степени равна единице.

$\frac{14}{3} - (\frac{64}{5} - \frac{2 \cdot 1}{5})$

Этап 7.2.3.17

Умножим $2$ на $1$ .

$\frac{14}{3} - (\frac{64}{5} - \frac{2}{5})$

Этап 7.2.3.18

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{14}{3} - \frac{64 - 2}{5}$

Этап 7.2.3.19

Вычтем $2$ из $64$ .

$\frac{14}{3} - \frac{62}{5}$

Этап 7.2.3.20

Чтобы записать $\frac{14}{3}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{5}{5}$ .

$\frac{14}{3} \cdot \frac{5}{5} - \frac{62}{5}$

Этап 7.2.3.21

Чтобы записать $- \frac{62}{5}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

$\frac{14}{3} \cdot \frac{5}{5} - \frac{62}{5} \cdot \frac{3}{3}$

Этап 7.2.3.22

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $15$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.3.22.1

Умножим $\frac{14}{3}$ на $\frac{5}{5}$ .

$\frac{14 \cdot 5}{3 \cdot 5} - \frac{62}{5} \cdot \frac{3}{3}$

Этап 7.2.3.22.2

Умножим $3$ на $5$ .

$\frac{14 \cdot 5}{15} - \frac{62}{5} \cdot \frac{3}{3}$

Этап 7.2.3.22.3

Умножим $\frac{62}{5}$ на $\frac{3}{3}$ .

$\frac{14 \cdot 5}{15} - \frac{62 \cdot 3}{5 \cdot 3}$

Этап 7.2.3.22.4

Умножим $5$ на $3$ .

$\frac{14 \cdot 5}{15} - \frac{62 \cdot 3}{15}$

Этап 7.2.3.23

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{14 \cdot 5 - 62 \cdot 3}{15}$

Этап 7.2.3.24

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.3.24.1

Умножим $14$ на $5$ .

$\frac{70 - 62 \cdot 3}{15}$

Этап 7.2.3.24.2

Умножим $- 62$ на $3$ .

$\frac{70 - 186}{15}$

Этап 7.2.3.24.3

Вычтем $186$ из $70$ .

$\frac{- 116}{15}$

Этап 7.2.3.25

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{116}{15}$

Этап 8

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$- \frac{116}{15}$

Десятичная форма:

$- 7.7\overline{3}$

Форма смешанных чисел:

$- 7 \frac{11}{15}$

Этап 9