Математический анализ Примеры

$\int_{1}^{4} - \frac{4}{x} d x$

Этап 1

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$- \int_{1}^{4} \frac{4}{x} d x$

Этап 2

Поскольку $4$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $4$ из-под знака интеграла.

$- (4 \int_{1}^{4} \frac{1}{x} d x)$

Этап 3

Умножим $4$ на $- 1$ .

$- 4 \int_{1}^{4} \frac{1}{x} d x$

Этап 4

Интеграл $\frac{1}{x}$ по $x$ имеет вид $\ln (| x |)$ .

$- 4 (\ln (| x |)]_{1}^{4})$

Этап 5

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Найдем значение $\ln (| x |)$ в $4$ и в $1$ .

$- 4 (\ln (| 4 |) - \ln (| 1 |))$

Этап 5.2

Используем формулу разности логарифмов с одинаковым основанием: $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$- 4 \ln (\frac{| 4 |}{| 1 |})$

Этап 5.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $4$ равно $4$ .

$- 4 \ln (\frac{4}{| 1 |})$

Этап 5.3.2

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $1$ равно $1$ .

$- 4 \ln (\frac{4}{1})$

Этап 5.3.3

Разделим $4$ на $1$ .

$- 4 \ln (4)$

Этап 6

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Перепишем $\ln (4)$ в виде $\ln (2^{2})$ .

$- 4 \ln (2^{2})$

Этап 6.2

Развернем $\ln (2^{2})$ , вынося $2$ из логарифма.

$- 4 (2 \ln (2))$

Этап 6.3

Умножим $2$ на $- 4$ .

$- 8 \ln (2)$

Этап 7

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$- 8 \ln (2)$

Десятичная форма:

$- 5.54517744 \dots$

Этап 8