Математический анализ Примеры

$\int_{1}^{4} \sqrt{\frac{2}{x}} d x$

Этап 1

Перепишем $\sqrt{\frac{2}{x}}$ в виде $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{x}}$ .

$\int_{1}^{4} \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{x}} d x$

Этап 2

Поскольку $\sqrt{2}$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $\sqrt{2}$ из-под знака интеграла.

$\sqrt{2} \int_{1}^{4} \frac{1}{\sqrt{x}} d x$

Этап 3

Применим основные правила для показателей степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{x}$ в виде $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\sqrt{2} \int_{1}^{4} \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} d x$

Этап 3.2

Вынесем $x^{\frac{1}{2}}$ из знаменателя, возведя в $- 1$ степень.

$\sqrt{2} \int_{1}^{4} {(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d x$

Этап 3.3

Перемножим экспоненты в ${(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sqrt{2} \int_{1}^{4} x^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d x$

Этап 3.3.2

Объединим $\frac{1}{2}$ и $- 1$ .

$\sqrt{2} \int_{1}^{4} x^{\frac{- 1}{2}} d x$

Этап 3.3.3

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\sqrt{2} \int_{1}^{4} x^{- \frac{1}{2}} d x$

Этап 4

По правилу степени интеграл $x^{- \frac{1}{2}}$ по $x$ имеет вид $2 x^{\frac{1}{2}}$ .

$\sqrt{2} 2 x^{\frac{1}{2}}]_{1}^{4}$

Этап 5

Подставим и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Найдем значение $2 x^{\frac{1}{2}}$ в $4$ и в $1$ .

$\sqrt{2} ((2 \cdot 4^{\frac{1}{2}}) - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

Этап 5.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$\sqrt{2} (2 \cdot {(2^{2})}^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

Этап 5.2.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sqrt{2} (2 \cdot 2^{2 (\frac{1}{2})} - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

Этап 5.2.3

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.1

Сократим общий множитель.

$\sqrt{2} (2 \cdot 2^{2 (\frac{1}{2})} - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

Этап 5.2.3.2

Перепишем это выражение.

$\sqrt{2} (2 \cdot 2^{1} - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

Этап 5.2.4

Найдем экспоненту.

$\sqrt{2} (2 \cdot 2 - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

Этап 5.2.5

Умножим $2$ на $2$ .

$\sqrt{2} (4 - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

Этап 5.2.6

Единица в любой степени равна единице.

$\sqrt{2} (4 - 2 \cdot 1)$

Этап 5.2.7

Умножим $- 2$ на $1$ .

$\sqrt{2} (4 - 2)$

Этап 5.2.8

Вычтем $2$ из $4$ .

$\sqrt{2} \cdot 2$

Этап 5.2.9

Перенесем $2$ влево от $\sqrt{2}$ .

$2 \sqrt{2}$

Этап 6

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$2 \sqrt{2}$

Десятичная форма:

$2.82842712 \dots$

Этап 7