Математический анализ Примеры

$\int_{1}^{2} e - x d x$

Этап 1

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int_{1}^{2} e d x + \int_{1}^{2} - x d x$

Этап 2

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$e x]_{1}^{2} + \int_{1}^{2} - x d x$

Этап 3

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$e x]_{1}^{2} - \int_{1}^{2} x d x$

Этап 4

По правилу степени интеграл $x$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$e x]_{1}^{2} - (\frac{1}{2} x^{2}]_{1}^{2})$

Этап 5

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Объединим $\frac{1}{2}$ и $x^{2}$ .

$e x]_{1}^{2} - (\frac{x^{2}}{2}]_{1}^{2})$

Этап 5.2

Подставим и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Найдем значение $e x$ в $2$ и в $1$ .

$(e \cdot 2) - e \cdot 1 - (\frac{x^{2}}{2}]_{1}^{2})$

Этап 5.2.2

Найдем значение $\frac{x^{2}}{2}$ в $2$ и в $1$ .

$e \cdot 2 - e \cdot 1 - (\frac{2^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2})$

Этап 5.2.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.1

Перенесем $2$ влево от $e$ .

$2 \cdot e - e \cdot 1 - (\frac{2^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2})$

Этап 5.2.3.2

Умножим $- 1$ на $1$ .

$2 e - e - (\frac{2^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2})$

Этап 5.2.3.3

Вычтем $e$ из $2 e$ .

$e - (\frac{2^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2})$

Этап 5.2.3.4

Возведем $2$ в степень $2$ .

$e - (\frac{4}{2} - \frac{1^{2}}{2})$

Этап 5.2.3.5

Сократим общий множитель $4$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.5.1

Вынесем множитель $2$ из $4$ .

$e - (\frac{2 \cdot 2}{2} - \frac{1^{2}}{2})$

Этап 5.2.3.5.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.5.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$e - (\frac{2 \cdot 2}{2 (1)} - \frac{1^{2}}{2})$

Этап 5.2.3.5.2.2

Сократим общий множитель.

$e - (\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1} - \frac{1^{2}}{2})$

Этап 5.2.3.5.2.3

Перепишем это выражение.

$e - (\frac{2}{1} - \frac{1^{2}}{2})$

Этап 5.2.3.5.2.4

Разделим $2$ на $1$ .

$e - (2 - \frac{1^{2}}{2})$

Этап 5.2.3.6

Единица в любой степени равна единице.

$e - (2 - \frac{1}{2})$

Этап 5.2.3.7

Чтобы записать $2$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$e - (2 \cdot \frac{2}{2} - \frac{1}{2})$

Этап 5.2.3.8

Объединим $2$ и $\frac{2}{2}$ .

$e - (\frac{2 \cdot 2}{2} - \frac{1}{2})$

Этап 5.2.3.9

Объединим числители над общим знаменателем.

$e - \frac{2 \cdot 2 - 1}{2}$

Этап 5.2.3.10

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.10.1

Умножим $2$ на $2$ .

$e - \frac{4 - 1}{2}$

Этап 5.2.3.10.2

Вычтем $1$ из $4$ .

$e - \frac{3}{2}$

Этап 6

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$e - \frac{3}{2}$

Десятичная форма:

$1.21828182 \dots$

Этап 7