Математический анализ Примеры

$\int_{1}^{2} {(x + \frac{1}{x})}^{2} d x$

Этап 1

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Перепишем ${(x + \frac{1}{x})}^{2}$ в виде $(x + \frac{1}{x}) (x + \frac{1}{x})$ .

$\int_{1}^{2} (x + \frac{1}{x}) (x + \frac{1}{x}) d x$

Этап 1.2

Развернем $(x + \frac{1}{x}) (x + \frac{1}{x})$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\int_{1}^{2} x (x + \frac{1}{x}) + \frac{1}{x} (x + \frac{1}{x}) d x$

Этап 1.2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\int_{1}^{2} x \cdot x + x \frac{1}{x} + \frac{1}{x} (x + \frac{1}{x}) d x$

Этап 1.2.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\int_{1}^{2} x \cdot x + x \frac{1}{x} + \frac{1}{x} x + \frac{1}{x} \cdot \frac{1}{x} d x$

Этап 1.3

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1.1

Сократим общий множитель $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1.1.1

Сократим общий множитель.

$\int_{1}^{2} x \cdot x + x \frac{1}{x} + \frac{1}{x} x + \frac{1}{x} \cdot \frac{1}{x} d x$

Этап 1.3.1.1.2

Перепишем это выражение.

$\int_{1}^{2} x \cdot x + 1 + \frac{1}{x} x + \frac{1}{x} \cdot \frac{1}{x} d x$

Этап 1.3.1.2

Сократим общий множитель $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1.2.1

Сократим общий множитель.

$\int_{1}^{2} x \cdot x + 1 + \frac{1}{x} x + \frac{1}{x} \cdot \frac{1}{x} d x$

Этап 1.3.1.2.2

Перепишем это выражение.

$\int_{1}^{2} x \cdot x + 1 + 1 + \frac{1}{x} \cdot \frac{1}{x} d x$

Этап 1.3.1.3

Умножим $\frac{1}{x} \cdot \frac{1}{x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1.3.1

Умножим $\frac{1}{x}$ на $\frac{1}{x}$ .

$\int_{1}^{2} x \cdot x + 1 + 1 + \frac{1}{x \cdot x} d x$

Этап 1.3.1.3.2

Возведем $x$ в степень $1$ .

$\int_{1}^{2} x \cdot x + 1 + 1 + \frac{1}{x^{1} x} d x$

Этап 1.3.1.3.3

Возведем $x$ в степень $1$ .

$\int_{1}^{2} x \cdot x + 1 + 1 + \frac{1}{x^{1} x^{1}} d x$

Этап 1.3.1.3.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\int_{1}^{2} x \cdot x + 1 + 1 + \frac{1}{x^{1 + 1}} d x$

Этап 1.3.1.3.5

Добавим $1$ и $1$ .

$\int_{1}^{2} x \cdot x + 1 + 1 + \frac{1}{x^{2}} d x$

Этап 1.3.2

Добавим $1$ и $1$ .

$\int_{1}^{2} x \cdot x + 2 + \frac{1}{x^{2}} d x$

Этап 2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$\int_{1}^{2} x^{1} x + 2 + \frac{1}{x^{2}} d x$

Этап 2.2

Возведем $x$ в степень $1$ .

$\int_{1}^{2} x^{1} x^{1} + 2 + \frac{1}{x^{2}} d x$

Этап 2.3

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\int_{1}^{2} x^{1 + 1} + 2 + \frac{1}{x^{2}} d x$

Этап 2.4

Добавим $1$ и $1$ .

$\int_{1}^{2} x^{2} + 2 + \frac{1}{x^{2}} d x$

Этап 3

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int_{1}^{2} x^{2} d x + \int_{1}^{2} 2 d x + \int_{1}^{2} \frac{1}{x^{2}} d x$

Этап 4

По правилу степени интеграл $x^{2}$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$\frac{1}{3} x^{3}]_{1}^{2} + \int_{1}^{2} 2 d x + \int_{1}^{2} \frac{1}{x^{2}} d x$

Этап 5

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$\frac{1}{3} x^{3}]_{1}^{2} + 2 x]_{1}^{2} + \int_{1}^{2} \frac{1}{x^{2}} d x$

Этап 6

Применим основные правила для показателей степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Вынесем $x^{2}$ из знаменателя, возведя в $- 1$ степень.

$\frac{1}{3} x^{3}]_{1}^{2} + 2 x]_{1}^{2} + \int_{1}^{2} {(x^{2})}^{- 1} d x$

Этап 6.2

Перемножим экспоненты в ${(x^{2})}^{- 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{3} x^{3}]_{1}^{2} + 2 x]_{1}^{2} + \int_{1}^{2} x^{2 \cdot - 1} d x$

Этап 6.2.2

Умножим $2$ на $- 1$ .

$\frac{1}{3} x^{3}]_{1}^{2} + 2 x]_{1}^{2} + \int_{1}^{2} x^{- 2} d x$

Этап 7

По правилу степени интеграл $x^{- 2}$ по $x$ имеет вид $- x^{- 1}$ .

$\frac{1}{3} x^{3}]_{1}^{2} + 2 x]_{1}^{2} + - x^{- 1}]_{1}^{2}$

Этап 8

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1.1

Объединим $\frac{1}{3} x^{3}]_{1}^{2}$ и $2 x]_{1}^{2}$ .

$\frac{1}{3} x^{3} + 2 x]_{1}^{2} + - x^{- 1}]_{1}^{2}$

Этап 8.1.2

Объединим $\frac{1}{3} x^{3} + 2 x]_{1}^{2}$ и $- x^{- 1}]_{1}^{2}$ .

$\frac{1}{3} x^{3} + 2 x - x^{- 1}]_{1}^{2}$

Этап 8.2

Подставим и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1

Найдем значение $\frac{1}{3} x^{3} + 2 x - x^{- 1}$ в $2$ и в $1$ .

$(\frac{1}{3} \cdot 2^{3} + 2 \cdot 2 - 2^{- 1}) - (\frac{1}{3} \cdot 1^{3} + 2 \cdot 1 - 1^{- 1})$

Этап 8.2.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.2.1

Возведем $2$ в степень $3$ .

$\frac{1}{3} \cdot 8 + 2 \cdot 2 - 2^{- 1} - (\frac{1}{3} \cdot 1^{3} + 2 \cdot 1 - 1^{- 1})$

Этап 8.2.2.2

Объединим $\frac{1}{3}$ и $8$ .

$\frac{8}{3} + 2 \cdot 2 - 2^{- 1} - (\frac{1}{3} \cdot 1^{3} + 2 \cdot 1 - 1^{- 1})$

Этап 8.2.2.3

Умножим $2$ на $2$ .

$\frac{8}{3} + 4 - 2^{- 1} - (\frac{1}{3} \cdot 1^{3} + 2 \cdot 1 - 1^{- 1})$

Этап 8.2.2.4

Чтобы записать $4$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

$\frac{8}{3} + 4 \cdot \frac{3}{3} - 2^{- 1} - (\frac{1}{3} \cdot 1^{3} + 2 \cdot 1 - 1^{- 1})$

Этап 8.2.2.5

Объединим $4$ и $\frac{3}{3}$ .

$\frac{8}{3} + \frac{4 \cdot 3}{3} - 2^{- 1} - (\frac{1}{3} \cdot 1^{3} + 2 \cdot 1 - 1^{- 1})$

Этап 8.2.2.6

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{8 + 4 \cdot 3}{3} - 2^{- 1} - (\frac{1}{3} \cdot 1^{3} + 2 \cdot 1 - 1^{- 1})$

Этап 8.2.2.7

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.2.7.1

Умножим $4$ на $3$ .

$\frac{8 + 12}{3} - 2^{- 1} - (\frac{1}{3} \cdot 1^{3} + 2 \cdot 1 - 1^{- 1})$

Этап 8.2.2.7.2

Добавим $8$ и $12$ .

$\frac{20}{3} - 2^{- 1} - (\frac{1}{3} \cdot 1^{3} + 2 \cdot 1 - 1^{- 1})$

Этап 8.2.2.8

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{20}{3} - \frac{1}{2} - (\frac{1}{3} \cdot 1^{3} + 2 \cdot 1 - 1^{- 1})$

Этап 8.2.2.9

Чтобы записать $\frac{20}{3}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$\frac{20}{3} \cdot \frac{2}{2} - \frac{1}{2} - (\frac{1}{3} \cdot 1^{3} + 2 \cdot 1 - 1^{- 1})$

Этап 8.2.2.10

Чтобы записать $- \frac{1}{2}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

$\frac{20}{3} \cdot \frac{2}{2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{3} - (\frac{1}{3} \cdot 1^{3} + 2 \cdot 1 - 1^{- 1})$

Этап 8.2.2.11

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $6$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.2.11.1

Умножим $\frac{20}{3}$ на $\frac{2}{2}$ .

$\frac{20 \cdot 2}{3 \cdot 2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{3} - (\frac{1}{3} \cdot 1^{3} + 2 \cdot 1 - 1^{- 1})$

Этап 8.2.2.11.2

Умножим $3$ на $2$ .

$\frac{20 \cdot 2}{6} - \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{3} - (\frac{1}{3} \cdot 1^{3} + 2 \cdot 1 - 1^{- 1})$

Этап 8.2.2.11.3

Умножим $\frac{1}{2}$ на $\frac{3}{3}$ .

$\frac{20 \cdot 2}{6} - \frac{3}{2 \cdot 3} - (\frac{1}{3} \cdot 1^{3} + 2 \cdot 1 - 1^{- 1})$

Этап 8.2.2.11.4

Умножим $2$ на $3$ .

$\frac{20 \cdot 2}{6} - \frac{3}{6} - (\frac{1}{3} \cdot 1^{3} + 2 \cdot 1 - 1^{- 1})$

Этап 8.2.2.12

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{20 \cdot 2 - 3}{6} - (\frac{1}{3} \cdot 1^{3} + 2 \cdot 1 - 1^{- 1})$

Этап 8.2.2.13

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.2.13.1

Умножим $20$ на $2$ .

$\frac{40 - 3}{6} - (\frac{1}{3} \cdot 1^{3} + 2 \cdot 1 - 1^{- 1})$

Этап 8.2.2.13.2

Вычтем $3$ из $40$ .

$\frac{37}{6} - (\frac{1}{3} \cdot 1^{3} + 2 \cdot 1 - 1^{- 1})$

Этап 8.2.2.14

Единица в любой степени равна единице.

$\frac{37}{6} - (\frac{1}{3} \cdot 1 + 2 \cdot 1 - 1^{- 1})$

Этап 8.2.2.15

Умножим $\frac{1}{3}$ на $1$ .

$\frac{37}{6} - (\frac{1}{3} + 2 \cdot 1 - 1^{- 1})$

Этап 8.2.2.16

Умножим $2$ на $1$ .

$\frac{37}{6} - (\frac{1}{3} + 2 - 1^{- 1})$

Этап 8.2.2.17

Чтобы записать $2$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

$\frac{37}{6} - (\frac{1}{3} + 2 \cdot \frac{3}{3} - 1^{- 1})$

Этап 8.2.2.18

Объединим $2$ и $\frac{3}{3}$ .

$\frac{37}{6} - (\frac{1}{3} + \frac{2 \cdot 3}{3} - 1^{- 1})$

Этап 8.2.2.19

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{37}{6} - (\frac{1 + 2 \cdot 3}{3} - 1^{- 1})$

Этап 8.2.2.20

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.2.20.1

Умножим $2$ на $3$ .

$\frac{37}{6} - (\frac{1 + 6}{3} - 1^{- 1})$

Этап 8.2.2.20.2

Добавим $1$ и $6$ .

$\frac{37}{6} - (\frac{7}{3} - 1^{- 1})$

Этап 8.2.2.21

Единица в любой степени равна единице.

$\frac{37}{6} - (\frac{7}{3} - 1 \cdot 1)$

Этап 8.2.2.22

Умножим $- 1$ на $1$ .

$\frac{37}{6} - (\frac{7}{3} - 1)$

Этап 8.2.2.23

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

$\frac{37}{6} - (\frac{7}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3})$

Этап 8.2.2.24

Объединим $- 1$ и $\frac{3}{3}$ .

$\frac{37}{6} - (\frac{7}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3})$

Этап 8.2.2.25

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{37}{6} - \frac{7 - 1 \cdot 3}{3}$

Этап 8.2.2.26

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.2.26.1

Умножим $- 1$ на $3$ .

$\frac{37}{6} - \frac{7 - 3}{3}$

Этап 8.2.2.26.2

Вычтем $3$ из $7$ .

$\frac{37}{6} - \frac{4}{3}$

Этап 8.2.2.27

Чтобы записать $- \frac{4}{3}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$\frac{37}{6} - \frac{4}{3} \cdot \frac{2}{2}$

Этап 8.2.2.28

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $6$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.2.28.1

Умножим $\frac{4}{3}$ на $\frac{2}{2}$ .

$\frac{37}{6} - \frac{4 \cdot 2}{3 \cdot 2}$

Этап 8.2.2.28.2

Умножим $3$ на $2$ .

$\frac{37}{6} - \frac{4 \cdot 2}{6}$

Этап 8.2.2.29

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{37 - 4 \cdot 2}{6}$

Этап 8.2.2.30

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.2.30.1

Умножим $- 4$ на $2$ .

$\frac{37 - 8}{6}$

Этап 8.2.2.30.2

Вычтем $8$ из $37$ .

$\frac{29}{6}$

Этап 9

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$\frac{29}{6}$

Десятичная форма:

$4.8\overline{3}$

Форма смешанных чисел:

$4 \frac{5}{6}$

Этап 10