Математический анализ Примеры

$\int_{1}^{3} 5 n^{- 2} - n^{- 3} d n$

Этап 1

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int_{1}^{3} 5 n^{- 2} d n + \int_{1}^{3} - n^{- 3} d n$

Этап 2

Поскольку $5$ — константа по отношению к $n$ , вынесем $5$ из-под знака интеграла.

$5 \int_{1}^{3} n^{- 2} d n + \int_{1}^{3} - n^{- 3} d n$

Этап 3

По правилу степени интеграл $n^{- 2}$ по $n$ имеет вид $- n^{- 1}$ .

$5 (- n^{- 1}]_{1}^{3}) + \int_{1}^{3} - n^{- 3} d n$

Этап 4

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $n$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$5 (- n^{- 1}]_{1}^{3}) - \int_{1}^{3} n^{- 3} d n$

Этап 5

По правилу степени интеграл $n^{- 3}$ по $n$ имеет вид $- \frac{1}{2} n^{- 2}$ .

$5 (- n^{- 1}]_{1}^{3}) - (- \frac{1}{2} n^{- 2}]_{1}^{3})$

Этап 6

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1

Объединим $n^{- 2}$ и $\frac{1}{2}$ .

$5 (- n^{- 1}]_{1}^{3}) - (- \frac{n^{- 2}}{2}]_{1}^{3})$

Этап 6.1.2

Перенесем $n^{- 2}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$5 (- n^{- 1}]_{1}^{3}) - (- \frac{1}{2 n^{2}}]_{1}^{3})$

Этап 6.2

Подставим и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Найдем значение $- n^{- 1}$ в $3$ и в $1$ .

$5 ((- 3^{- 1}) + 1^{- 1}) - (- \frac{1}{2 n^{2}}]_{1}^{3})$

Этап 6.2.2

Найдем значение $- \frac{1}{2 n^{2}}$ в $3$ и в $1$ .

$5 ((- 3^{- 1}) + 1^{- 1}) - ((- \frac{1}{2 \cdot 3^{2}}) + \frac{1}{2 \cdot 1^{2}})$

Этап 6.2.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.3.1

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$5 (- \frac{1}{3} + 1^{- 1}) - ((- \frac{1}{2 \cdot 3^{2}}) + \frac{1}{2 \cdot 1^{2}})$

Этап 6.2.3.2

Единица в любой степени равна единице.

$5 (- \frac{1}{3} + 1) - ((- \frac{1}{2 \cdot 3^{2}}) + \frac{1}{2 \cdot 1^{2}})$

Этап 6.2.3.3

Запишем $1$ в виде дроби с общим знаменателем.

$5 (- \frac{1}{3} + \frac{3}{3}) - ((- \frac{1}{2 \cdot 3^{2}}) + \frac{1}{2 \cdot 1^{2}})$

Этап 6.2.3.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$5 \frac{- 1 + 3}{3} - ((- \frac{1}{2 \cdot 3^{2}}) + \frac{1}{2 \cdot 1^{2}})$

Этап 6.2.3.5

Добавим $- 1$ и $3$ .

$5 (\frac{2}{3}) - ((- \frac{1}{2 \cdot 3^{2}}) + \frac{1}{2 \cdot 1^{2}})$

Этап 6.2.3.6

Объединим $5$ и $\frac{2}{3}$ .

$\frac{5 \cdot 2}{3} - ((- \frac{1}{2 \cdot 3^{2}}) + \frac{1}{2 \cdot 1^{2}})$

Этап 6.2.3.7

Умножим $5$ на $2$ .

$\frac{10}{3} - ((- \frac{1}{2 \cdot 3^{2}}) + \frac{1}{2 \cdot 1^{2}})$

Этап 6.2.3.8

Возведем $3$ в степень $2$ .

$\frac{10}{3} - (- \frac{1}{2 \cdot 9} + \frac{1}{2 \cdot 1^{2}})$

Этап 6.2.3.9

Умножим $2$ на $9$ .

$\frac{10}{3} - (- \frac{1}{18} + \frac{1}{2 \cdot 1^{2}})$

Этап 6.2.3.10

Единица в любой степени равна единице.

$\frac{10}{3} - (- \frac{1}{18} + \frac{1}{2 \cdot 1})$

Этап 6.2.3.11

Умножим $2$ на $1$ .

$\frac{10}{3} - (- \frac{1}{18} + \frac{1}{2})$

Этап 6.2.3.12

Чтобы записать $\frac{1}{2}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{9}{9}$ .

$\frac{10}{3} - (- \frac{1}{18} + \frac{1}{2} \cdot \frac{9}{9})$

Этап 6.2.3.13

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $18$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.3.13.1

Умножим $\frac{1}{2}$ на $\frac{9}{9}$ .

$\frac{10}{3} - (- \frac{1}{18} + \frac{9}{2 \cdot 9})$

Этап 6.2.3.13.2

Умножим $2$ на $9$ .

$\frac{10}{3} - (- \frac{1}{18} + \frac{9}{18})$

Этап 6.2.3.14

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{10}{3} - \frac{- 1 + 9}{18}$

Этап 6.2.3.15

Добавим $- 1$ и $9$ .

$\frac{10}{3} - \frac{8}{18}$

Этап 6.2.3.16

Сократим общий множитель $8$ и $18$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.3.16.1

Вынесем множитель $2$ из $8$ .

$\frac{10}{3} - \frac{2 (4)}{18}$

Этап 6.2.3.16.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.3.16.2.1

Вынесем множитель $2$ из $18$ .

$\frac{10}{3} - \frac{2 \cdot 4}{2 \cdot 9}$

Этап 6.2.3.16.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{10}{3} - \frac{2 \cdot 4}{2 \cdot 9}$

Этап 6.2.3.16.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{10}{3} - \frac{4}{9}$

Этап 6.2.3.17

Чтобы записать $\frac{10}{3}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

$\frac{10}{3} \cdot \frac{3}{3} - \frac{4}{9}$

Этап 6.2.3.18

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $9$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.3.18.1

Умножим $\frac{10}{3}$ на $\frac{3}{3}$ .

$\frac{10 \cdot 3}{3 \cdot 3} - \frac{4}{9}$

Этап 6.2.3.18.2

Умножим $3$ на $3$ .

$\frac{10 \cdot 3}{9} - \frac{4}{9}$

Этап 6.2.3.19

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{10 \cdot 3 - 4}{9}$

Этап 6.2.3.20

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.3.20.1

Умножим $10$ на $3$ .

$\frac{30 - 4}{9}$

Этап 6.2.3.20.2

Вычтем $4$ из $30$ .

$\frac{26}{9}$

Этап 7

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$\frac{26}{9}$

Десятичная форма:

$2.\overline{8}$

Форма смешанных чисел:

$2 \frac{8}{9}$

Этап 8