Математический анализ Примеры

$\int \sin^{5} (4 x) d x$

Этап 1

Пусть $u_{1} = 4 x$ . Тогда $d u_{1} = 4 d x$ , следовательно $\frac{1}{4} d u_{1} = d x$ . Перепишем, используя $u_{1}$ и $d$ $u_{1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Пусть $u_{1} = 4 x$ . Найдем $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Дифференцируем $4 x$ .

$\frac{d}{d x} [4 x]$

Этап 1.1.2

Поскольку $4$ является константой относительно $x$ , производная $4 x$ по $x$ равна $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$4 \frac{d}{d x} [x]$

Этап 1.1.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$4 \cdot 1$

Этап 1.1.4

Умножим $4$ на $1$ .

$4$

Этап 1.2

Переформулируем задачу с помощью $u_{1}$ и $d u_{1}$ .

$\int \sin^{5} (u_{1}) \frac{1}{4} d u_{1}$

Этап 2

Объединим $\sin^{5} (u_{1})$ и $\frac{1}{4}$ .

$\int \frac{\sin^{5} (u_{1})}{4} d u_{1}$

Этап 3

Поскольку $\frac{1}{4}$ — константа по отношению к $u_{1}$ , вынесем $\frac{1}{4}$ из-под знака интеграла.

$\frac{1}{4} \int \sin^{5} (u_{1}) d u_{1}$

Этап 4

Вынесем $\sin^{4} (u_{1})$ за скобки.

$\frac{1}{4} \int \sin^{4} (u_{1}) \sin (u_{1}) d u_{1}$

Этап 5

Упростим с помощью разложения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Вынесем множитель $2$ из $4$ .

$\frac{1}{4} \int {\sin (u_{1})}^{2 (2)} \sin (u_{1}) d u_{1}$

Этап 5.2

Перепишем ${\sin (u_{1})}^{2 (2)}$ в виде степенного выражения.

$\frac{1}{4} \int {(\sin^{2} (u_{1}))}^{2} \sin (u_{1}) d u_{1}$

Этап 6

Используя формулы Пифагора, запишем $\sin^{2} (u_{1})$ в виде $1 - \cos^{2} (u_{1})$ .

$\frac{1}{4} \int {(1 - \cos^{2} (u_{1}))}^{2} \sin (u_{1}) d u_{1}$

Этап 7

Пусть $u_{2} = \cos (u_{1})$ . Тогда $d u_{2} = - \sin (u_{1}) d u_{1}$ , следовательно $- \frac{1}{\sin (u_{1})} d u_{2} = d u_{1}$ . Перепишем, используя $u_{2}$ и $d$ $u_{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Пусть $u_{2} = \cos (u_{1})$ . Найдем $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.1

Дифференцируем $\cos (u_{1})$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\cos (u_{1})]$

Этап 7.1.2

Производная $\cos (u_{1})$ по $u_{1}$ равна $- \sin (u_{1})$ .

$- \sin (u_{1})$

Этап 7.2

Переформулируем задачу с помощью $u_{2}$ и $d u_{2}$ .

$\frac{1}{4} \int - {(1 - {u_{2}}^{2})}^{2} d u_{2}$

Этап 8

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $u_{2}$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$\frac{1}{4} (- \int {(1 - {u_{2}}^{2})}^{2} d u_{2})$

Этап 9

Развернем ${(1 - {u_{2}}^{2})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Перепишем ${(1 - {u_{2}}^{2})}^{2}$ в виде $(1 - {u_{2}}^{2}) (1 - {u_{2}}^{2})$ .

$\frac{1}{4} (- \int (1 - {u_{2}}^{2}) (1 - {u_{2}}^{2}) d u_{2})$

Этап 9.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{1}{4} (- \int 1 (1 - {u_{2}}^{2}) - {u_{2}}^{2} (1 - {u_{2}}^{2}) d u_{2})$

Этап 9.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{1}{4} (- \int 1 \cdot 1 + 1 (- {u_{2}}^{2}) - {u_{2}}^{2} (1 - {u_{2}}^{2}) d u_{2})$

Этап 9.4

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{1}{4} (- \int 1 \cdot 1 + 1 (- {u_{2}}^{2}) - {u_{2}}^{2} \cdot 1 - {u_{2}}^{2} (- {u_{2}}^{2}) d u_{2})$

Этап 9.5

Перенесем ${u_{2}}^{2}$ .

$\frac{1}{4} (- \int 1 \cdot 1 + 1 \cdot - 1 {u_{2}}^{2} - 1 \cdot 1 {u_{2}}^{2} - {u_{2}}^{2} (- {u_{2}}^{2}) d u_{2})$

Этап 9.6

Перенесем ${u_{2}}^{2}$ .

$\frac{1}{4} (- \int 1 \cdot 1 + 1 \cdot - 1 {u_{2}}^{2} - 1 \cdot 1 {u_{2}}^{2} - 1 \cdot - 1 {u_{2}}^{2} {u_{2}}^{2} d u_{2})$

Этап 9.7

Умножим $1$ на $1$ .

$\frac{1}{4} (- \int 1 + 1 \cdot - 1 {u_{2}}^{2} - 1 \cdot 1 {u_{2}}^{2} - 1 \cdot - 1 {u_{2}}^{2} {u_{2}}^{2} d u_{2})$

Этап 9.8

Умножим $- 1$ на $1$ .

$\frac{1}{4} (- \int 1 - {u_{2}}^{2} - 1 \cdot 1 {u_{2}}^{2} - 1 \cdot - 1 {u_{2}}^{2} {u_{2}}^{2} d u_{2})$

Этап 9.9

Умножим $- 1$ на $1$ .

$\frac{1}{4} (- \int 1 - {u_{2}}^{2} - {u_{2}}^{2} - 1 \cdot - 1 {u_{2}}^{2} {u_{2}}^{2} d u_{2})$

Этап 9.10

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$\frac{1}{4} (- \int 1 - {u_{2}}^{2} - {u_{2}}^{2} + 1 {u_{2}}^{2} {u_{2}}^{2} d u_{2})$

Этап 9.11

Умножим ${u_{2}}^{2}$ на $1$ .

$\frac{1}{4} (- \int 1 - {u_{2}}^{2} - {u_{2}}^{2} + {u_{2}}^{2} {u_{2}}^{2} d u_{2})$

Этап 9.12

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{1}{4} (- \int 1 - {u_{2}}^{2} - {u_{2}}^{2} + {u_{2}}^{2 + 2} d u_{2})$

Этап 9.13

Добавим $2$ и $2$ .

$\frac{1}{4} (- \int 1 - {u_{2}}^{2} - {u_{2}}^{2} + {u_{2}}^{4} d u_{2})$

Этап 9.14

Вычтем ${u_{2}}^{2}$ из $- {u_{2}}^{2}$ .

$\frac{1}{4} (- \int 1 - 2 {u_{2}}^{2} + {u_{2}}^{4} d u_{2})$

Этап 9.15

Изменим порядок $- 2 {u_{2}}^{2}$ и ${u_{2}}^{4}$ .

$\frac{1}{4} (- \int 1 + {u_{2}}^{4} - 2 {u_{2}}^{2} d u_{2})$

Этап 9.16

Перенесем $1$ .

$\frac{1}{4} (- \int {u_{2}}^{4} - 2 {u_{2}}^{2} + 1 d u_{2})$

Этап 10

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\frac{1}{4} (- (\int {u_{2}}^{4} d u_{2} + \int - 2 {u_{2}}^{2} d u_{2} + \int d u_{2}))$

Этап 11

По правилу степени интеграл ${u_{2}}^{4}$ по $u_{2}$ имеет вид $\frac{1}{5} {u_{2}}^{5}$ .

$\frac{1}{4} (- (\frac{1}{5} {u_{2}}^{5} + C + \int - 2 {u_{2}}^{2} d u_{2} + \int d u_{2}))$

Этап 12

Поскольку $- 2$ — константа по отношению к $u_{2}$ , вынесем $- 2$ из-под знака интеграла.

$\frac{1}{4} (- (\frac{1}{5} {u_{2}}^{5} + C - 2 \int {u_{2}}^{2} d u_{2} + \int d u_{2}))$

Этап 13

По правилу степени интеграл ${u_{2}}^{2}$ по $u_{2}$ имеет вид $\frac{1}{3} {u_{2}}^{3}$ .

$\frac{1}{4} (- (\frac{1}{5} {u_{2}}^{5} + C - 2 (\frac{1}{3} {u_{2}}^{3} + C) + \int d u_{2}))$

Этап 14

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$\frac{1}{4} (- (\frac{1}{5} {u_{2}}^{5} + C - 2 (\frac{1}{3} {u_{2}}^{3} + C) + u_{2} + C))$

Этап 15

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.1

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.1.1

Объединим $\frac{1}{3}$ и ${u_{2}}^{3}$ .

$\frac{1}{4} (- (\frac{1}{5} {u_{2}}^{5} + C - 2 (\frac{{u_{2}}^{3}}{3} + C) + u_{2} + C))$

Этап 15.1.2

Объединим $\frac{1}{5}$ и ${u_{2}}^{5}$ .

$\frac{1}{4} (- (\frac{{u_{2}}^{5}}{5} + C - 2 (\frac{{u_{2}}^{3}}{3} + C) + u_{2} + C))$

Этап 15.2

Упростим.

$\frac{1}{4} (- (\frac{{u_{2}}^{5}}{5} - \frac{2 {u_{2}}^{3}}{3} + u_{2})) + C$

Этап 16

Выполним обратную подстановку для каждой подставленной переменной интегрирования.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 16.1

Заменим все вхождения $u_{2}$ на $\cos (u_{1})$ .

$\frac{1}{4} (- (\frac{\cos^{5} (u_{1})}{5} - \frac{2 \cos^{3} (u_{1})}{3} + \cos (u_{1}))) + C$

Этап 16.2

Заменим все вхождения $u_{1}$ на $4 x$ .

$\frac{1}{4} (- (\frac{\cos^{5} (4 x)}{5} - \frac{2 \cos^{3} (4 x)}{3} + \cos (4 x))) + C$

Этап 17

Изменим порядок членов.

$\frac{1}{4} (- (\frac{1}{5} \cos^{5} (4 x) - \frac{2}{3} \cos^{3} (4 x) + \cos (4 x))) + C$