Математический анализ Примеры

$\int_{1}^{16} 5 + x^{\frac{1}{4}} d x$

Этап 1

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int_{1}^{16} 5 d x + \int_{1}^{16} x^{\frac{1}{4}} d x$

Этап 2

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$5 x]_{1}^{16} + \int_{1}^{16} x^{\frac{1}{4}} d x$

Этап 3

По правилу степени интеграл $x^{\frac{1}{4}}$ по $x$ имеет вид $\frac{4}{5} x^{\frac{5}{4}}$ .

$5 x]_{1}^{16} + \frac{4}{5} x^{\frac{5}{4}}]_{1}^{16}$

Этап 4

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Объединим $5 x]_{1}^{16}$ и $\frac{4}{5} x^{\frac{5}{4}}]_{1}^{16}$ .

$5 x + \frac{4}{5} x^{\frac{5}{4}}]_{1}^{16}$

Этап 4.2

Подставим и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Найдем значение $5 x + \frac{4}{5} x^{\frac{5}{4}}$ в $16$ и в $1$ .

$(5 \cdot 16 + \frac{4}{5} \cdot 16^{\frac{5}{4}}) - (5 \cdot 1 + \frac{4}{5} \cdot 1^{\frac{5}{4}})$

Этап 4.2.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1

Умножим $5$ на $16$ .

$80 + \frac{4}{5} \cdot 16^{\frac{5}{4}} - (5 \cdot 1 + \frac{4}{5} \cdot 1^{\frac{5}{4}})$

Этап 4.2.2.2

Перепишем $16$ в виде $2^{4}$ .

$80 + \frac{4}{5} \cdot {(2^{4})}^{\frac{5}{4}} - (5 \cdot 1 + \frac{4}{5} \cdot 1^{\frac{5}{4}})$

Этап 4.2.2.3

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$80 + \frac{4}{5} \cdot 2^{4 (\frac{5}{4})} - (5 \cdot 1 + \frac{4}{5} \cdot 1^{\frac{5}{4}})$

Этап 4.2.2.4

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.4.1

Сократим общий множитель.

$80 + \frac{4}{5} \cdot 2^{4 (\frac{5}{4})} - (5 \cdot 1 + \frac{4}{5} \cdot 1^{\frac{5}{4}})$

Этап 4.2.2.4.2

Перепишем это выражение.

$80 + \frac{4}{5} \cdot 2^{5} - (5 \cdot 1 + \frac{4}{5} \cdot 1^{\frac{5}{4}})$

Этап 4.2.2.5

Возведем $2$ в степень $5$ .

$80 + \frac{4}{5} \cdot 32 - (5 \cdot 1 + \frac{4}{5} \cdot 1^{\frac{5}{4}})$

Этап 4.2.2.6

Объединим $\frac{4}{5}$ и $32$ .

$80 + \frac{4 \cdot 32}{5} - (5 \cdot 1 + \frac{4}{5} \cdot 1^{\frac{5}{4}})$

Этап 4.2.2.7

Умножим $4$ на $32$ .

$80 + \frac{128}{5} - (5 \cdot 1 + \frac{4}{5} \cdot 1^{\frac{5}{4}})$

Этап 4.2.2.8

Чтобы записать $80$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{5}{5}$ .

$80 \cdot \frac{5}{5} + \frac{128}{5} - (5 \cdot 1 + \frac{4}{5} \cdot 1^{\frac{5}{4}})$

Этап 4.2.2.9

Объединим $80$ и $\frac{5}{5}$ .

$\frac{80 \cdot 5}{5} + \frac{128}{5} - (5 \cdot 1 + \frac{4}{5} \cdot 1^{\frac{5}{4}})$

Этап 4.2.2.10

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{80 \cdot 5 + 128}{5} - (5 \cdot 1 + \frac{4}{5} \cdot 1^{\frac{5}{4}})$

Этап 4.2.2.11

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.11.1

Умножим $80$ на $5$ .

$\frac{400 + 128}{5} - (5 \cdot 1 + \frac{4}{5} \cdot 1^{\frac{5}{4}})$

Этап 4.2.2.11.2

Добавим $400$ и $128$ .

$\frac{528}{5} - (5 \cdot 1 + \frac{4}{5} \cdot 1^{\frac{5}{4}})$

Этап 4.2.2.12

Умножим $5$ на $1$ .

$\frac{528}{5} - (5 + \frac{4}{5} \cdot 1^{\frac{5}{4}})$

Этап 4.2.2.13

Единица в любой степени равна единице.

$\frac{528}{5} - (5 + \frac{4}{5} \cdot 1)$

Этап 4.2.2.14

Умножим $\frac{4}{5}$ на $1$ .

$\frac{528}{5} - (5 + \frac{4}{5})$

Этап 4.2.2.15

Чтобы записать $5$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{5}{5}$ .

$\frac{528}{5} - (5 \cdot \frac{5}{5} + \frac{4}{5})$

Этап 4.2.2.16

Объединим $5$ и $\frac{5}{5}$ .

$\frac{528}{5} - (\frac{5 \cdot 5}{5} + \frac{4}{5})$

Этап 4.2.2.17

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{528}{5} - \frac{5 \cdot 5 + 4}{5}$

Этап 4.2.2.18

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.18.1

Умножим $5$ на $5$ .

$\frac{528}{5} - \frac{25 + 4}{5}$

Этап 4.2.2.18.2

Добавим $25$ и $4$ .

$\frac{528}{5} - \frac{29}{5}$

Этап 4.2.2.19

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{528 - 29}{5}$

Этап 4.2.2.20

Вычтем $29$ из $528$ .

$\frac{499}{5}$

Этап 5

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$\frac{499}{5}$

Десятичная форма:

$99.8$

Форма смешанных чисел:

$99 \frac{4}{5}$

Этап 6