Математический анализ Примеры

$\int_{1}^{2} t^{5} - t^{3} + 1 d t$

Этап 1

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int_{1}^{2} t^{5} d t + \int_{1}^{2} - t^{3} d t + \int_{1}^{2} d t$

Этап 2

По правилу степени интеграл $t^{5}$ по $t$ имеет вид $\frac{1}{6} t^{6}$ .

$\frac{1}{6} t^{6}]_{1}^{2} + \int_{1}^{2} - t^{3} d t + \int_{1}^{2} d t$

Этап 3

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $t$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$\frac{1}{6} t^{6}]_{1}^{2} - \int_{1}^{2} t^{3} d t + \int_{1}^{2} d t$

Этап 4

По правилу степени интеграл $t^{3}$ по $t$ имеет вид $\frac{1}{4} t^{4}$ .

$\frac{1}{6} t^{6}]_{1}^{2} - (\frac{1}{4} t^{4}]_{1}^{2}) + \int_{1}^{2} d t$

Этап 5

Объединим $\frac{1}{4}$ и $t^{4}$ .

$\frac{1}{6} t^{6}]_{1}^{2} - (\frac{t^{4}}{4}]_{1}^{2}) + \int_{1}^{2} d t$

Этап 6

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$\frac{1}{6} t^{6}]_{1}^{2} - (\frac{t^{4}}{4}]_{1}^{2}) + t]_{1}^{2}$

Этап 7

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Объединим $\frac{1}{6} t^{6}]_{1}^{2}$ и $t]_{1}^{2}$ .

$\frac{1}{6} t^{6} + t]_{1}^{2} - (\frac{t^{4}}{4}]_{1}^{2})$

Этап 7.2

Подставим и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1

Найдем значение $\frac{1}{6} t^{6} + t$ в $2$ и в $1$ .

$(\frac{1}{6} \cdot 2^{6} + 2) - (\frac{1}{6} \cdot 1^{6} + 1) - (\frac{t^{4}}{4}]_{1}^{2})$

Этап 7.2.2

Найдем значение $\frac{t^{4}}{4}$ в $2$ и в $1$ .

$(\frac{1}{6} \cdot 2^{6} + 2) - (\frac{1}{6} \cdot 1^{6} + 1) - ((\frac{2^{4}}{4}) - \frac{1^{4}}{4})$

Этап 7.2.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.3.1

Возведем $2$ в степень $6$ .

$\frac{1}{6} \cdot 64 + 2 - (\frac{1}{6} \cdot 1^{6} + 1) - ((\frac{2^{4}}{4}) - \frac{1^{4}}{4})$

Этап 7.2.3.2

Объединим $\frac{1}{6}$ и $64$ .

$\frac{64}{6} + 2 - (\frac{1}{6} \cdot 1^{6} + 1) - ((\frac{2^{4}}{4}) - \frac{1^{4}}{4})$

Этап 7.2.3.3

Сократим общий множитель $64$ и $6$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.3.3.1

Вынесем множитель $2$ из $64$ .

$\frac{2 (32)}{6} + 2 - (\frac{1}{6} \cdot 1^{6} + 1) - ((\frac{2^{4}}{4}) - \frac{1^{4}}{4})$

Этап 7.2.3.3.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.3.3.2.1

Вынесем множитель $2$ из $6$ .

$\frac{2 \cdot 32}{2 \cdot 3} + 2 - (\frac{1}{6} \cdot 1^{6} + 1) - ((\frac{2^{4}}{4}) - \frac{1^{4}}{4})$

Этап 7.2.3.3.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{2 \cdot 32}{2 \cdot 3} + 2 - (\frac{1}{6} \cdot 1^{6} + 1) - ((\frac{2^{4}}{4}) - \frac{1^{4}}{4})$

Этап 7.2.3.3.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{32}{3} + 2 - (\frac{1}{6} \cdot 1^{6} + 1) - ((\frac{2^{4}}{4}) - \frac{1^{4}}{4})$

Этап 7.2.3.4

Чтобы записать $2$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

$\frac{32}{3} + 2 \cdot \frac{3}{3} - (\frac{1}{6} \cdot 1^{6} + 1) - ((\frac{2^{4}}{4}) - \frac{1^{4}}{4})$

Этап 7.2.3.5

Объединим $2$ и $\frac{3}{3}$ .

$\frac{32}{3} + \frac{2 \cdot 3}{3} - (\frac{1}{6} \cdot 1^{6} + 1) - ((\frac{2^{4}}{4}) - \frac{1^{4}}{4})$

Этап 7.2.3.6

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{32 + 2 \cdot 3}{3} - (\frac{1}{6} \cdot 1^{6} + 1) - ((\frac{2^{4}}{4}) - \frac{1^{4}}{4})$

Этап 7.2.3.7

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.3.7.1

Умножим $2$ на $3$ .

$\frac{32 + 6}{3} - (\frac{1}{6} \cdot 1^{6} + 1) - ((\frac{2^{4}}{4}) - \frac{1^{4}}{4})$

Этап 7.2.3.7.2

Добавим $32$ и $6$ .

$\frac{38}{3} - (\frac{1}{6} \cdot 1^{6} + 1) - ((\frac{2^{4}}{4}) - \frac{1^{4}}{4})$

Этап 7.2.3.8

Единица в любой степени равна единице.

$\frac{38}{3} - (\frac{1}{6} \cdot 1 + 1) - ((\frac{2^{4}}{4}) - \frac{1^{4}}{4})$

Этап 7.2.3.9

Умножим $\frac{1}{6}$ на $1$ .

$\frac{38}{3} - (\frac{1}{6} + 1) - ((\frac{2^{4}}{4}) - \frac{1^{4}}{4})$

Этап 7.2.3.10

Запишем $1$ в виде дроби с общим знаменателем.

$\frac{38}{3} - (\frac{1}{6} + \frac{6}{6}) - ((\frac{2^{4}}{4}) - \frac{1^{4}}{4})$

Этап 7.2.3.11

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{38}{3} - \frac{1 + 6}{6} - ((\frac{2^{4}}{4}) - \frac{1^{4}}{4})$

Этап 7.2.3.12

Добавим $1$ и $6$ .

$\frac{38}{3} - \frac{7}{6} - ((\frac{2^{4}}{4}) - \frac{1^{4}}{4})$

Этап 7.2.3.13

Чтобы записать $\frac{38}{3}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$\frac{38}{3} \cdot \frac{2}{2} - \frac{7}{6} - ((\frac{2^{4}}{4}) - \frac{1^{4}}{4})$

Этап 7.2.3.14

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $6$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.3.14.1

Умножим $\frac{38}{3}$ на $\frac{2}{2}$ .

$\frac{38 \cdot 2}{3 \cdot 2} - \frac{7}{6} - ((\frac{2^{4}}{4}) - \frac{1^{4}}{4})$

Этап 7.2.3.14.2

Умножим $3$ на $2$ .

$\frac{38 \cdot 2}{6} - \frac{7}{6} - ((\frac{2^{4}}{4}) - \frac{1^{4}}{4})$

Этап 7.2.3.15

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{38 \cdot 2 - 7}{6} - ((\frac{2^{4}}{4}) - \frac{1^{4}}{4})$

Этап 7.2.3.16

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.3.16.1

Умножим $38$ на $2$ .

$\frac{76 - 7}{6} - ((\frac{2^{4}}{4}) - \frac{1^{4}}{4})$

Этап 7.2.3.16.2

Вычтем $7$ из $76$ .

$\frac{69}{6} - ((\frac{2^{4}}{4}) - \frac{1^{4}}{4})$

Этап 7.2.3.17

Сократим общий множитель $69$ и $6$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.3.17.1

Вынесем множитель $3$ из $69$ .

$\frac{3 (23)}{6} - ((\frac{2^{4}}{4}) - \frac{1^{4}}{4})$

Этап 7.2.3.17.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.3.17.2.1

Вынесем множитель $3$ из $6$ .

$\frac{3 \cdot 23}{3 \cdot 2} - ((\frac{2^{4}}{4}) - \frac{1^{4}}{4})$

Этап 7.2.3.17.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{3 \cdot 23}{3 \cdot 2} - ((\frac{2^{4}}{4}) - \frac{1^{4}}{4})$

Этап 7.2.3.17.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{23}{2} - ((\frac{2^{4}}{4}) - \frac{1^{4}}{4})$

Этап 7.2.3.18

Возведем $2$ в степень $4$ .

$\frac{23}{2} - (\frac{16}{4} - \frac{1^{4}}{4})$

Этап 7.2.3.19

Сократим общий множитель $16$ и $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.3.19.1

Вынесем множитель $4$ из $16$ .

$\frac{23}{2} - (\frac{4 \cdot 4}{4} - \frac{1^{4}}{4})$

Этап 7.2.3.19.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.3.19.2.1

Вынесем множитель $4$ из $4$ .

$\frac{23}{2} - (\frac{4 \cdot 4}{4 (1)} - \frac{1^{4}}{4})$

Этап 7.2.3.19.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{23}{2} - (\frac{4 \cdot 4}{4 \cdot 1} - \frac{1^{4}}{4})$

Этап 7.2.3.19.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{23}{2} - (\frac{4}{1} - \frac{1^{4}}{4})$

Этап 7.2.3.19.2.4

Разделим $4$ на $1$ .

$\frac{23}{2} - (4 - \frac{1^{4}}{4})$

Этап 7.2.3.20

Единица в любой степени равна единице.

$\frac{23}{2} - (4 - \frac{1}{4})$

Этап 7.2.3.21

Чтобы записать $4$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{4}{4}$ .

$\frac{23}{2} - (4 \cdot \frac{4}{4} - \frac{1}{4})$

Этап 7.2.3.22

Объединим $4$ и $\frac{4}{4}$ .

$\frac{23}{2} - (\frac{4 \cdot 4}{4} - \frac{1}{4})$

Этап 7.2.3.23

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{23}{2} - \frac{4 \cdot 4 - 1}{4}$

Этап 7.2.3.24

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.3.24.1

Умножим $4$ на $4$ .

$\frac{23}{2} - \frac{16 - 1}{4}$

Этап 7.2.3.24.2

Вычтем $1$ из $16$ .

$\frac{23}{2} - \frac{15}{4}$

Этап 7.2.3.25

Чтобы записать $\frac{23}{2}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$\frac{23}{2} \cdot \frac{2}{2} - \frac{15}{4}$

Этап 7.2.3.26

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $4$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.3.26.1

Умножим $\frac{23}{2}$ на $\frac{2}{2}$ .

$\frac{23 \cdot 2}{2 \cdot 2} - \frac{15}{4}$

Этап 7.2.3.26.2

Умножим $2$ на $2$ .

$\frac{23 \cdot 2}{4} - \frac{15}{4}$

Этап 7.2.3.27

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{23 \cdot 2 - 15}{4}$

Этап 7.2.3.28

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.3.28.1

Умножим $23$ на $2$ .

$\frac{46 - 15}{4}$

Этап 7.2.3.28.2

Вычтем $15$ из $46$ .

$\frac{31}{4}$

Этап 8

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$\frac{31}{4}$

Десятичная форма:

$7.75$

Форма смешанных чисел:

$7 \frac{3}{4}$

Этап 9