Математический анализ Примеры

$\int_{1}^{- 1} {(12 x + 11)}^{2} d x$

Этап 1

Пусть $u = 12 x + 11$ . Тогда $d u = 12 d x$ , следовательно $\frac{1}{12} d u = d x$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Пусть $u = 12 x + 11$ . Найдем $\frac{d u}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Дифференцируем $12 x + 11$ .

$\frac{d}{d x} [12 x + 11]$

Этап 1.1.2

По правилу суммы производная $12 x + 11$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [12 x] + \frac{d}{d x} [11]$ .

$\frac{d}{d x} [12 x] + \frac{d}{d x} [11]$

Этап 1.1.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [12 x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.1

Поскольку $12$ является константой относительно $x$ , производная $12 x$ по $x$ равна $12 \frac{d}{d x} [x]$ .

$12 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [11]$

Этап 1.1.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$12 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [11]$

Этап 1.1.3.3

Умножим $12$ на $1$ .

$12 + \frac{d}{d x} [11]$

Этап 1.1.4

Продифференцируем, используя правило константы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.4.1

Поскольку $11$ является константой относительно $x$ , производная $11$ относительно $x$ равна $0$ .

$12 + 0$

Этап 1.1.4.2

Добавим $12$ и $0$ .

$12$

Этап 1.2

Подставим нижнее предельное значение вместо $x$ в $u = 12 x + 11$ .

$u_{lower} = 12 \cdot 1 + 11$

Этап 1.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Умножим $12$ на $1$ .

$u_{lower} = 12 + 11$

Этап 1.3.2

Добавим $12$ и $11$ .

$u_{lower} = 23$

Этап 1.4

Подставим верхнее предельное значение вместо $x$ в $u = 12 x + 11$ .

$u_{upper} = 12 \cdot - 1 + 11$

Этап 1.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.1

Умножим $12$ на $- 1$ .

$u_{upper} = - 12 + 11$

Этап 1.5.2

Добавим $- 12$ и $11$ .

$u_{upper} = - 1$

Этап 1.6

Значения, найденные для $u_{lower}$ и $u_{upper}$ , будут использованы для вычисления данного определенного интеграла.

$u_{lower} = 23$

$u_{upper} = - 1$

Этап 1.7

Переформулируем задачу, используя $u$ , $d u$ и новые пределы интегрирования.

$\int_{23}^{- 1} u^{2} \frac{1}{12} d u$

Этап 2

Объединим $u^{2}$ и $\frac{1}{12}$ .

$\int_{23}^{- 1} \frac{u^{2}}{12} d u$

Этап 3

Поскольку $\frac{1}{12}$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $\frac{1}{12}$ из-под знака интеграла.

$\frac{1}{12} \int_{23}^{- 1} u^{2} d u$

Этап 4

По правилу степени интеграл $u^{2}$ по $u$ имеет вид $\frac{1}{3} u^{3}$ .

$\frac{1}{12} \frac{1}{3} u^{3}]_{23}^{- 1}$

Этап 5

Подставим и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Найдем значение $\frac{1}{3} u^{3}$ в $- 1$ и в $23$ .

$\frac{1}{12} ((\frac{1}{3} {(- 1)}^{3}) - \frac{1}{3} \cdot 23^{3})$

Этап 5.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Возведем $- 1$ в степень $3$ .

$\frac{1}{12} (\frac{1}{3} \cdot - 1 - \frac{1}{3} \cdot 23^{3})$

Этап 5.2.2

Объединим $\frac{1}{3}$ и $- 1$ .

$\frac{1}{12} (\frac{- 1}{3} - \frac{1}{3} \cdot 23^{3})$

Этап 5.2.3

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{1}{12} (- \frac{1}{3} - \frac{1}{3} \cdot 23^{3})$

Этап 5.2.4

Возведем $23$ в степень $3$ .

$\frac{1}{12} (- \frac{1}{3} - \frac{1}{3} \cdot 12167)$

Этап 5.2.5

Умножим $12167$ на $- 1$ .

$\frac{1}{12} (- \frac{1}{3} - 12167 (\frac{1}{3}))$

Этап 5.2.6

Объединим $- 12167$ и $\frac{1}{3}$ .

$\frac{1}{12} (- \frac{1}{3} + \frac{- 12167}{3})$

Этап 5.2.7

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{1}{12} (- \frac{1}{3} - \frac{12167}{3})$

Этап 5.2.8

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{1}{12} \cdot \frac{- 1 - 12167}{3}$

Этап 5.2.9

Вычтем $12167$ из $- 1$ .

$\frac{1}{12} \cdot \frac{- 12168}{3}$

Этап 5.2.10

Сократим общий множитель $- 12168$ и $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.10.1

Вынесем множитель $3$ из $- 12168$ .

$\frac{1}{12} \cdot \frac{3 \cdot - 4056}{3}$

Этап 5.2.10.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.10.2.1

Вынесем множитель $3$ из $3$ .

$\frac{1}{12} \cdot \frac{3 \cdot - 4056}{3 (1)}$

Этап 5.2.10.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{12} \cdot \frac{3 \cdot - 4056}{3 \cdot 1}$

Этап 5.2.10.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{12} \cdot \frac{- 4056}{1}$

Этап 5.2.10.2.4

Разделим $- 4056$ на $1$ .

$\frac{1}{12} \cdot - 4056$

Этап 5.2.11

Объединим $\frac{1}{12}$ и $- 4056$ .

$\frac{- 4056}{12}$

Этап 5.2.12

Сократим общий множитель $- 4056$ и $12$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.12.1

Вынесем множитель $12$ из $- 4056$ .

$\frac{12 \cdot - 338}{12}$

Этап 5.2.12.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.12.2.1

Вынесем множитель $12$ из $12$ .

$\frac{12 \cdot - 338}{12 (1)}$

Этап 5.2.12.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{12 \cdot - 338}{12 \cdot 1}$

Этап 5.2.12.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{- 338}{1}$

Этап 5.2.12.2.4

Разделим $- 338$ на $1$ .

$- 338$

Этап 6