Математический анализ Примеры

$\int_{- 1}^{1} e^{- 2 x} d x$

Этап 1

Пусть $u = - 2 x$ . Тогда $d u = - 2 d x$ , следовательно $- \frac{1}{2} d u = d x$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Пусть $u = - 2 x$ . Найдем $\frac{d u}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Дифференцируем $- 2 x$ .

$\frac{d}{d x} [- 2 x]$

Этап 1.1.2

Поскольку $- 2$ является константой относительно $x$ , производная $- 2 x$ по $x$ равна $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 2 \frac{d}{d x} [x]$

Этап 1.1.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$- 2 \cdot 1$

Этап 1.1.4

Умножим $- 2$ на $1$ .

$- 2$

Этап 1.2

Подставим нижнее предельное значение вместо $x$ в $u = - 2 x$ .

$u_{lower} = - 2 \cdot - 1$

Этап 1.3

Умножим $- 2$ на $- 1$ .

$u_{lower} = 2$

Этап 1.4

Подставим верхнее предельное значение вместо $x$ в $u = - 2 x$ .

$u_{upper} = - 2 \cdot 1$

Этап 1.5

Умножим $- 2$ на $1$ .

$u_{upper} = - 2$

Этап 1.6

Значения, найденные для $u_{lower}$ и $u_{upper}$ , будут использованы для вычисления данного определенного интеграла.

$u_{lower} = 2$

$u_{upper} = - 2$

Этап 1.7

Переформулируем задачу, используя $u$ , $d u$ и новые пределы интегрирования.

$\int_{2}^{- 2} e^{u} \frac{1}{- 2} d u$

Этап 2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\int_{2}^{- 2} e^{u} (- \frac{1}{2}) d u$

Этап 2.2

Объединим $e^{u}$ и $\frac{1}{2}$ .

$\int_{2}^{- 2} - \frac{e^{u}}{2} d u$

Этап 3

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$- \int_{2}^{- 2} \frac{e^{u}}{2} d u$

Этап 4

Поскольку $\frac{1}{2}$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $\frac{1}{2}$ из-под знака интеграла.

$- (\frac{1}{2} \int_{2}^{- 2} e^{u} d u)$

Этап 5

Интеграл $e^{u}$ по $u$ имеет вид $e^{u}$ .

$- \frac{1}{2} e^{u}]_{2}^{- 2}$

Этап 6

Найдем значение $e^{u}$ в $- 2$ и в $2$ .

$- \frac{1}{2} (e^{- 2} - e^{2})$

Этап 7

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Применим свойство дистрибутивности.

$- \frac{1}{2} e^{- 2} - \frac{1}{2} (- e^{2})$

Этап 7.2

Объединим $e^{- 2}$ и $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{e^{- 2}}{2} - \frac{1}{2} (- e^{2})$

Этап 7.3

Умножим $- \frac{1}{2} (- e^{2})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$- \frac{e^{- 2}}{2} + 1 (\frac{1}{2}) e^{2}$

Этап 7.3.2

Умножим $\frac{1}{2}$ на $1$ .

$- \frac{e^{- 2}}{2} + \frac{1}{2} e^{2}$

Этап 7.3.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $e^{2}$ .

$- \frac{e^{- 2}}{2} + \frac{e^{2}}{2}$

Этап 7.4

Перенесем $e^{- 2}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{1}{2 e^{2}} + \frac{e^{2}}{2}$

Этап 8

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$- \frac{1}{2 e^{2}} + \frac{e^{2}}{2}$

Десятичная форма:

$3.62686040 \dots$

Этап 9