Математический анализ Примеры

$\int_{0}^{π} x + \sin (x) d x$

Этап 1

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int_{0}^{π} x d x + \int_{0}^{π} \sin (x) d x$

Этап 2

По правилу степени интеграл $x$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{2}]_{0}^{π} + \int_{0}^{π} \sin (x) d x$

Этап 3

Интеграл $\sin (x)$ по $x$ имеет вид $- \cos (x)$ .

$\frac{1}{2} x^{2}]_{0}^{π} + - \cos (x)]_{0}^{π}$

Этап 4

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Объединим $\frac{1}{2} x^{2}]_{0}^{π}$ и $- \cos (x)]_{0}^{π}$ .

$\frac{1}{2} x^{2} - \cos (x)]_{0}^{π}$

Этап 4.2

Подставим и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Найдем значение $\frac{1}{2} x^{2} - \cos (x)$ в $π$ и в $0$ .

$(\frac{1}{2} π^{2} - \cos (π)) - (\frac{1}{2} \cdot 0^{2} - \cos (0))$

Этап 4.2.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1

Объединим $\frac{1}{2}$ и $π^{2}$ .

$\frac{π^{2}}{2} - \cos (π) - (\frac{1}{2} \cdot 0^{2} - \cos (0))$

Этап 4.2.2.2

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$\frac{π^{2}}{2} - \cos (π) - (\frac{1}{2} \cdot 0 - \cos (0))$

Этап 4.2.2.3

Умножим $\frac{1}{2}$ на $0$ .

$\frac{π^{2}}{2} - \cos (π) - (0 - \cos (0))$

Этап 4.2.2.4

Вычтем $\cos (0)$ из $0$ .

$\frac{π^{2}}{2} - \cos (π) - - \cos (0)$

Этап 4.2.2.5

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$\frac{π^{2}}{2} - \cos (π) + 1 \cos (0)$

Этап 4.2.2.6

Умножим $\cos (0)$ на $1$ .

$\frac{π^{2}}{2} - \cos (π) + \cos (0)$

Этап 4.3

Точное значение $\cos (0)$ : $1$ .

$\frac{π^{2}}{2} - \cos (π) + 1$

Этап 4.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.1

Применим угол приведения, найдя угол с эквивалентными тригонометрическими значениями в первом квадранте. Добавим минус к выражению, так как косинус отрицательный во втором квадранте.

$\frac{π^{2}}{2} - - \cos (0) + 1$

Этап 4.4.2

Точное значение $\cos (0)$ : $1$ .

$\frac{π^{2}}{2} - (- 1 \cdot 1) + 1$

Этап 4.4.3

Умножим $- 1$ на $1$ .

$\frac{π^{2}}{2} - - 1 + 1$

Этап 4.4.4

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$\frac{π^{2}}{2} + 1 + 1$

Этап 4.4.5

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{π^{2}}{2} + 2$

Этап 5

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$\frac{π^{2}}{2} + 2$

Десятичная форма:

$6.93480220 \dots$