Математический анализ Примеры

$\int_{0}^{2} 3 \sqrt{4 u + 1} d u$

Этап 1

Поскольку $3$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $3$ из-под знака интеграла.

$3 \int_{0}^{2} \sqrt{4 u + 1} d u$

Этап 2

Пусть $u_{1} = 4 u + 1$ . Тогда $d u_{1} = 4 d u$ , следовательно $\frac{1}{4} d u_{1} = d u$ . Перепишем, используя $u_{1}$ и $d$ $u_{1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Пусть $u_{1} = 4 u + 1$ . Найдем $\frac{d u_{1}}{d u}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Дифференцируем $4 u + 1$ .

$\frac{d}{d u} [4 u + 1]$

Этап 2.1.2

По правилу суммы производная $4 u + 1$ по $u$ имеет вид $\frac{d}{d u} [4 u] + \frac{d}{d u} [1]$ .

$\frac{d}{d u} [4 u] + \frac{d}{d u} [1]$

Этап 2.1.3

Найдем значение $\frac{d}{d u} [4 u]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.3.1

Поскольку $4$ является константой относительно $u$ , производная $4 u$ по $u$ равна $4 \frac{d}{d u} [u]$ .

$4 \frac{d}{d u} [u] + \frac{d}{d u} [1]$

Этап 2.1.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$4 \cdot 1 + \frac{d}{d u} [1]$

Этап 2.1.3.3

Умножим $4$ на $1$ .

$4 + \frac{d}{d u} [1]$

Этап 2.1.4

Продифференцируем, используя правило константы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.4.1

Поскольку $1$ является константой относительно $u$ , производная $1$ относительно $u$ равна $0$ .

$4 + 0$

Этап 2.1.4.2

Добавим $4$ и $0$ .

$4$

Этап 2.2

Подставим нижнее предельное значение вместо $u$ в $u_{1} = 4 u + 1$ .

$u_{lower} = 4 \cdot 0 + 1$

Этап 2.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Умножим $4$ на $0$ .

$u_{lower} = 0 + 1$

Этап 2.3.2

Добавим $0$ и $1$ .

$u_{lower} = 1$

Этап 2.4

Подставим верхнее предельное значение вместо $u$ в $u_{1} = 4 u + 1$ .

$u_{upper} = 4 \cdot 2 + 1$

Этап 2.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1

Умножим $4$ на $2$ .

$u_{upper} = 8 + 1$

Этап 2.5.2

Добавим $8$ и $1$ .

$u_{upper} = 9$

Этап 2.6

Значения, найденные для $u_{lower}$ и $u_{upper}$ , будут использованы для вычисления данного определенного интеграла.

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = 9$

Этап 2.7

Переформулируем задачу, используя $u_{1}$ , $d u_{1}$ и новые пределы интегрирования.

$3 \int_{1}^{9} \sqrt{u_{1}} \frac{1}{4} d u_{1}$

Этап 3

Объединим $\sqrt{u_{1}}$ и $\frac{1}{4}$ .

$3 \int_{1}^{9} \frac{\sqrt{u_{1}}}{4} d u_{1}$

Этап 4

Поскольку $\frac{1}{4}$ — константа по отношению к $u_{1}$ , вынесем $\frac{1}{4}$ из-под знака интеграла.

$3 (\frac{1}{4} \int_{1}^{9} \sqrt{u_{1}} d u_{1})$

Этап 5

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Объединим $\frac{1}{4}$ и $3$ .

$\frac{3}{4} \int_{1}^{9} \sqrt{u_{1}} d u_{1}$

Этап 5.2

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{u_{1}}$ в виде ${u_{1}}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{3}{4} \int_{1}^{9} {u_{1}}^{\frac{1}{2}} d u_{1}$

Этап 6

По правилу степени интеграл ${u_{1}}^{\frac{1}{2}}$ по $u_{1}$ имеет вид $\frac{2}{3} {u_{1}}^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{3}{4} \frac{2}{3} {u_{1}}^{\frac{3}{2}}]_{1}^{9}$

Этап 7

Подставим и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Найдем значение $\frac{2}{3} {u_{1}}^{\frac{3}{2}}$ в $9$ и в $1$ .

$\frac{3}{4} ((\frac{2}{3} \cdot 9^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}})$

Этап 7.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1

Перепишем $9$ в виде $3^{2}$ .

$\frac{3}{4} (\frac{2}{3} \cdot {(3^{2})}^{\frac{3}{2}} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}})$

Этап 7.2.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{3}{4} (\frac{2}{3} \cdot 3^{2 (\frac{3}{2})} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}})$

Этап 7.2.3

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.3.1

Сократим общий множитель.

$\frac{3}{4} (\frac{2}{3} \cdot 3^{2 (\frac{3}{2})} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}})$

Этап 7.2.3.2

Перепишем это выражение.

$\frac{3}{4} (\frac{2}{3} \cdot 3^{3} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}})$

Этап 7.2.4

Возведем $3$ в степень $3$ .

$\frac{3}{4} (\frac{2}{3} \cdot 27 - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}})$

Этап 7.2.5

Объединим $\frac{2}{3}$ и $27$ .

$\frac{3}{4} (\frac{2 \cdot 27}{3} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}})$

Этап 7.2.6

Умножим $2$ на $27$ .

$\frac{3}{4} (\frac{54}{3} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}})$

Этап 7.2.7

Сократим общий множитель $54$ и $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.7.1

Вынесем множитель $3$ из $54$ .

$\frac{3}{4} (\frac{3 \cdot 18}{3} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}})$

Этап 7.2.7.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.7.2.1

Вынесем множитель $3$ из $3$ .

$\frac{3}{4} (\frac{3 \cdot 18}{3 (1)} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}})$

Этап 7.2.7.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{3}{4} (\frac{3 \cdot 18}{3 \cdot 1} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}})$

Этап 7.2.7.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{3}{4} (\frac{18}{1} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}})$

Этап 7.2.7.2.4

Разделим $18$ на $1$ .

$\frac{3}{4} (18 - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}})$

Этап 7.2.8

Единица в любой степени равна единице.

$\frac{3}{4} (18 - \frac{2}{3} \cdot 1)$

Этап 7.2.9

Умножим $- 1$ на $1$ .

$\frac{3}{4} (18 - \frac{2}{3})$

Этап 7.2.10

Чтобы записать $18$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

$\frac{3}{4} (18 \cdot \frac{3}{3} - \frac{2}{3})$

Этап 7.2.11

Объединим $18$ и $\frac{3}{3}$ .

$\frac{3}{4} (\frac{18 \cdot 3}{3} - \frac{2}{3})$

Этап 7.2.12

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{3}{4} \cdot \frac{18 \cdot 3 - 2}{3}$

Этап 7.2.13

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.13.1

Умножим $18$ на $3$ .

$\frac{3}{4} \cdot \frac{54 - 2}{3}$

Этап 7.2.13.2

Вычтем $2$ из $54$ .

$\frac{3}{4} \cdot \frac{52}{3}$

Этап 7.2.14

Умножим $\frac{3}{4}$ на $\frac{52}{3}$ .

$\frac{3 \cdot 52}{4 \cdot 3}$

Этап 7.2.15

Умножим $3$ на $52$ .

$\frac{156}{4 \cdot 3}$

Этап 7.2.16

Умножим $4$ на $3$ .

$\frac{156}{12}$

Этап 7.2.17

Сократим общий множитель $156$ и $12$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.17.1

Вынесем множитель $12$ из $156$ .

$\frac{12 \cdot 13}{12}$

Этап 7.2.17.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.17.2.1

Вынесем множитель $12$ из $12$ .

$\frac{12 \cdot 13}{12 (1)}$

Этап 7.2.17.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{12 \cdot 13}{12 \cdot 1}$

Этап 7.2.17.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{13}{1}$

Этап 7.2.17.2.4

Разделим $13$ на $1$ .

$13$

Этап 8