Математический анализ Примеры

$\int_{0}^{3} 3 x - x^{2} d x$

Этап 1

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int_{0}^{3} 3 x d x + \int_{0}^{3} - x^{2} d x$

Этап 2

Поскольку $3$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $3$ из-под знака интеграла.

$3 \int_{0}^{3} x d x + \int_{0}^{3} - x^{2} d x$

Этап 3

По правилу степени интеграл $x$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$3 (\frac{1}{2} x^{2}]_{0}^{3}) + \int_{0}^{3} - x^{2} d x$

Этап 4

Объединим $\frac{1}{2}$ и $x^{2}$ .

$3 (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{3}) + \int_{0}^{3} - x^{2} d x$

Этап 5

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$3 (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{3}) - \int_{0}^{3} x^{2} d x$

Этап 6

По правилу степени интеграл $x^{2}$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$3 (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{3}) - (\frac{1}{3} x^{3}]_{0}^{3})$

Этап 7

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Объединим $\frac{1}{3}$ и $x^{3}$ .

$3 (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{3}) - (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{3})$

Этап 7.2

Подставим и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1

Найдем значение $\frac{x^{2}}{2}$ в $3$ и в $0$ .

$3 ((\frac{3^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2}) - (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{3})$

Этап 7.2.2

Найдем значение $\frac{x^{3}}{3}$ в $3$ и в $0$ .

$3 (\frac{3^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}) - (\frac{3^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3})$

Этап 7.2.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.3.1

Возведем $3$ в степень $2$ .

$3 (\frac{9}{2} - \frac{0^{2}}{2}) - (\frac{3^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3})$

Этап 7.2.3.2

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$3 (\frac{9}{2} - \frac{0}{2}) - (\frac{3^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3})$

Этап 7.2.3.3

Сократим общий множитель $0$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.3.3.1

Вынесем множитель $2$ из $0$ .

$3 (\frac{9}{2} - \frac{2 (0)}{2}) - (\frac{3^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3})$

Этап 7.2.3.3.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.3.3.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$3 (\frac{9}{2} - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1}) - (\frac{3^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3})$

Этап 7.2.3.3.2.2

Сократим общий множитель.

$3 (\frac{9}{2} - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1}) - (\frac{3^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3})$

Этап 7.2.3.3.2.3

Перепишем это выражение.

$3 (\frac{9}{2} - \frac{0}{1}) - (\frac{3^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3})$

Этап 7.2.3.3.2.4

Разделим $0$ на $1$ .

$3 (\frac{9}{2} - 0) - (\frac{3^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3})$

Этап 7.2.3.4

Умножим $- 1$ на $0$ .

$3 (\frac{9}{2} + 0) - (\frac{3^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3})$

Этап 7.2.3.5

Добавим $\frac{9}{2}$ и $0$ .

$3 (\frac{9}{2}) - (\frac{3^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3})$

Этап 7.2.3.6

Объединим $3$ и $\frac{9}{2}$ .

$\frac{3 \cdot 9}{2} - (\frac{3^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3})$

Этап 7.2.3.7

Умножим $3$ на $9$ .

$\frac{27}{2} - (\frac{3^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3})$

Этап 7.2.3.8

Возведем $3$ в степень $3$ .

$\frac{27}{2} - (\frac{27}{3} - \frac{0^{3}}{3})$

Этап 7.2.3.9

Сократим общий множитель $27$ и $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.3.9.1

Вынесем множитель $3$ из $27$ .

$\frac{27}{2} - (\frac{3 \cdot 9}{3} - \frac{0^{3}}{3})$

Этап 7.2.3.9.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.3.9.2.1

Вынесем множитель $3$ из $3$ .

$\frac{27}{2} - (\frac{3 \cdot 9}{3 (1)} - \frac{0^{3}}{3})$

Этап 7.2.3.9.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{27}{2} - (\frac{3 \cdot 9}{3 \cdot 1} - \frac{0^{3}}{3})$

Этап 7.2.3.9.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{27}{2} - (\frac{9}{1} - \frac{0^{3}}{3})$

Этап 7.2.3.9.2.4

Разделим $9$ на $1$ .

$\frac{27}{2} - (9 - \frac{0^{3}}{3})$

Этап 7.2.3.10

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$\frac{27}{2} - (9 - \frac{0}{3})$

Этап 7.2.3.11

Сократим общий множитель $0$ и $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.3.11.1

Вынесем множитель $3$ из $0$ .

$\frac{27}{2} - (9 - \frac{3 (0)}{3})$

Этап 7.2.3.11.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.3.11.2.1

Вынесем множитель $3$ из $3$ .

$\frac{27}{2} - (9 - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1})$

Этап 7.2.3.11.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{27}{2} - (9 - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1})$

Этап 7.2.3.11.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{27}{2} - (9 - \frac{0}{1})$

Этап 7.2.3.11.2.4

Разделим $0$ на $1$ .

$\frac{27}{2} - (9 - 0)$

Этап 7.2.3.12

Умножим $- 1$ на $0$ .

$\frac{27}{2} - (9 + 0)$

Этап 7.2.3.13

Добавим $9$ и $0$ .

$\frac{27}{2} - 1 \cdot 9$

Этап 7.2.3.14

Умножим $- 1$ на $9$ .

$\frac{27}{2} - 9$

Этап 7.2.3.15

Чтобы записать $- 9$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$\frac{27}{2} - 9 \cdot \frac{2}{2}$

Этап 7.2.3.16

Объединим $- 9$ и $\frac{2}{2}$ .

$\frac{27}{2} + \frac{- 9 \cdot 2}{2}$

Этап 7.2.3.17

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{27 - 9 \cdot 2}{2}$

Этап 7.2.3.18

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.3.18.1

Умножим $- 9$ на $2$ .

$\frac{27 - 18}{2}$

Этап 7.2.3.18.2

Вычтем $18$ из $27$ .

$\frac{9}{2}$

Этап 8

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$\frac{9}{2}$

Десятичная форма:

$4.5$

Форма смешанных чисел:

$4 \frac{1}{2}$

Этап 9