Математический анализ Примеры

$\int_{0}^{5} \frac{x}{x^{2} + 10} d x$

Этап 1

Пусть $u = x^{2} + 10$ . Тогда $d u = 2 x d x$ , следовательно $\frac{1}{2} d u = x d x$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Пусть $u = x^{2} + 10$ . Найдем $\frac{d u}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Дифференцируем $x^{2} + 10$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} + 10]$

Этап 1.1.2

По правилу суммы производная $x^{2} + 10$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [10]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [10]$

Этап 1.1.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [10]$

Этап 1.1.4

Поскольку $10$ является константой относительно $x$ , производная $10$ относительно $x$ равна $0$ .

$2 x + 0$

Этап 1.1.5

Добавим $2 x$ и $0$ .

$2 x$

Этап 1.2

Подставим нижнее предельное значение вместо $x$ в $u = x^{2} + 10$ .

$u_{lower} = 0^{2} + 10$

Этап 1.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$u_{lower} = 0 + 10$

Этап 1.3.2

Добавим $0$ и $10$ .

$u_{lower} = 10$

Этап 1.4

Подставим верхнее предельное значение вместо $x$ в $u = x^{2} + 10$ .

$u_{upper} = 5^{2} + 10$

Этап 1.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.1

Возведем $5$ в степень $2$ .

$u_{upper} = 25 + 10$

Этап 1.5.2

Добавим $25$ и $10$ .

$u_{upper} = 35$

Этап 1.6

Значения, найденные для $u_{lower}$ и $u_{upper}$ , будут использованы для вычисления данного определенного интеграла.

$u_{lower} = 10$

$u_{upper} = 35$

Этап 1.7

Переформулируем задачу, используя $u$ , $d u$ и новые пределы интегрирования.

$\int_{10}^{35} \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{2} d u$

Этап 2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Умножим $\frac{1}{u}$ на $\frac{1}{2}$ .

$\int_{10}^{35} \frac{1}{u \cdot 2} d u$

Этап 2.2

Перенесем $2$ влево от $u$ .

$\int_{10}^{35} \frac{1}{2 u} d u$

Этап 3

Поскольку $\frac{1}{2}$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $\frac{1}{2}$ из-под знака интеграла.

$\frac{1}{2} \int_{10}^{35} \frac{1}{u} d u$

Этап 4

Интеграл $\frac{1}{u}$ по $u$ имеет вид $\ln (| u |)$ .

$\frac{1}{2} \ln (| u |)]_{10}^{35}$

Этап 5

Найдем значение $\ln (| u |)$ в $35$ и в $10$ .

$\frac{1}{2} (\ln (| 35 |) - \ln (| 10 |))$

Этап 6

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Используем формулу разности логарифмов с одинаковым основанием: $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\frac{1}{2} \ln (\frac{| 35 |}{| 10 |})$

Этап 6.2

Объединим $\frac{1}{2}$ и $\ln (\frac{| 35 |}{| 10 |})$ .

$\frac{\ln (\frac{| 35 |}{| 10 |})}{2}$

Этап 7

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $35$ равно $35$ .

$\frac{\ln (\frac{35}{| 10 |})}{2}$

Этап 7.2

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $10$ равно $10$ .

$\frac{\ln (\frac{35}{10})}{2}$

Этап 7.3

Сократим общий множитель $35$ и $10$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.1

Вынесем множитель $5$ из $35$ .

$\frac{\ln (\frac{5 (7)}{10})}{2}$

Этап 7.3.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.2.1

Вынесем множитель $5$ из $10$ .

$\frac{\ln (\frac{5 \cdot 7}{5 \cdot 2})}{2}$

Этап 7.3.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{\ln (\frac{5 \cdot 7}{5 \cdot 2})}{2}$

Этап 7.3.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{\ln (\frac{7}{2})}{2}$

Этап 8

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$\frac{\ln (\frac{7}{2})}{2}$

Десятичная форма:

$0.62638148 \dots$

Этап 9