Математический анализ Примеры

$\int_{0}^{5} t \sqrt{25 - t^{2}} d t$

Этап 1

Пусть $u = 25 - t^{2}$ . Тогда $d u = - 2 t d t$ , следовательно $- \frac{1}{2} d u = t d t$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Пусть $u = 25 - t^{2}$ . Найдем $\frac{d u}{d t}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Дифференцируем $25 - t^{2}$ .

$\frac{d}{d t} [25 - t^{2}]$

Этап 1.1.2

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.1

По правилу суммы производная $25 - t^{2}$ по $t$ имеет вид $\frac{d}{d t} [25] + \frac{d}{d t} [- t^{2}]$ .

$\frac{d}{d t} [25] + \frac{d}{d t} [- t^{2}]$

Этап 1.1.2.2

Поскольку $25$ является константой относительно $t$ , производная $25$ относительно $t$ равна $0$ .

$0 + \frac{d}{d t} [- t^{2}]$

Этап 1.1.3

Найдем значение $\frac{d}{d t} [- t^{2}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.1

Поскольку $- 1$ является константой относительно $t$ , производная $- t^{2}$ по $t$ равна $- \frac{d}{d t} [t^{2}]$ .

$0 - \frac{d}{d t} [t^{2}]$

Этап 1.1.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ имеет вид $n t^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$0 - (2 t)$

Этап 1.1.3.3

Умножим $2$ на $- 1$ .

$0 - 2 t$

Этап 1.1.4

Вычтем $2 t$ из $0$ .

$- 2 t$

Этап 1.2

Подставим нижнее предельное значение вместо $t$ в $u = 25 - t^{2}$ .

$u_{lower} = 25 - 0^{2}$

Этап 1.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1.1

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$u_{lower} = 25 - 0$

Этап 1.3.1.2

Умножим $- 1$ на $0$ .

$u_{lower} = 25 + 0$

Этап 1.3.2

Добавим $25$ и $0$ .

$u_{lower} = 25$

Этап 1.4

Подставим верхнее предельное значение вместо $t$ в $u = 25 - t^{2}$ .

$u_{upper} = 25 - 5^{2}$

Этап 1.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.1.1

Возведем $5$ в степень $2$ .

$u_{upper} = 25 - 1 \cdot 25$

Этап 1.5.1.2

Умножим $- 1$ на $25$ .

$u_{upper} = 25 - 25$

Этап 1.5.2

Вычтем $25$ из $25$ .

$u_{upper} = 0$

Этап 1.6

Значения, найденные для $u_{lower}$ и $u_{upper}$ , будут использованы для вычисления данного определенного интеграла.

$u_{lower} = 25$

$u_{upper} = 0$

Этап 1.7

Переформулируем задачу, используя $u$ , $d u$ и новые пределы интегрирования.

$\int_{25}^{0} \sqrt{u} \frac{1}{- 2} d u$

Этап 2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\int_{25}^{0} \sqrt{u} (- \frac{1}{2}) d u$

Этап 2.2

Объединим $\sqrt{u}$ и $\frac{1}{2}$ .

$\int_{25}^{0} - \frac{\sqrt{u}}{2} d u$

Этап 3

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$- \int_{25}^{0} \frac{\sqrt{u}}{2} d u$

Этап 4

Поскольку $\frac{1}{2}$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $\frac{1}{2}$ из-под знака интеграла.

$- (\frac{1}{2} \int_{25}^{0} \sqrt{u} d u)$

Этап 5

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{u}$ в виде $u^{\frac{1}{2}}$ .

$- \frac{1}{2} \int_{25}^{0} u^{\frac{1}{2}} d u$

Этап 6

По правилу степени интеграл $u^{\frac{1}{2}}$ по $u$ имеет вид $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ .

$- \frac{1}{2} \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}]_{25}^{0}$

Этап 7

Подставим и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Найдем значение $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ в $0$ и в $25$ .

$- \frac{1}{2} ((\frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{3} \cdot 25^{\frac{3}{2}})$

Этап 7.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1

Перепишем $0$ в виде $0^{2}$ .

$- \frac{1}{2} (\frac{2}{3} \cdot {(0^{2})}^{\frac{3}{2}} - \frac{2}{3} \cdot 25^{\frac{3}{2}})$

Этап 7.2.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{1}{2} (\frac{2}{3} \cdot 0^{2 (\frac{3}{2})} - \frac{2}{3} \cdot 25^{\frac{3}{2}})$

Этап 7.2.3

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.3.1

Сократим общий множитель.

$- \frac{1}{2} (\frac{2}{3} \cdot 0^{2 (\frac{3}{2})} - \frac{2}{3} \cdot 25^{\frac{3}{2}})$

Этап 7.2.3.2

Перепишем это выражение.

$- \frac{1}{2} (\frac{2}{3} \cdot 0^{3} - \frac{2}{3} \cdot 25^{\frac{3}{2}})$

Этап 7.2.4

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$- \frac{1}{2} (\frac{2}{3} \cdot 0 - \frac{2}{3} \cdot 25^{\frac{3}{2}})$

Этап 7.2.5

Умножим $\frac{2}{3}$ на $0$ .

$- \frac{1}{2} (0 - \frac{2}{3} \cdot 25^{\frac{3}{2}})$

Этап 7.2.6

Перепишем $25$ в виде $5^{2}$ .

$- \frac{1}{2} (0 - \frac{2}{3} \cdot {(5^{2})}^{\frac{3}{2}})$

Этап 7.2.7

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{1}{2} (0 - \frac{2}{3} \cdot 5^{2 (\frac{3}{2})})$

Этап 7.2.8

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.8.1

Сократим общий множитель.

$- \frac{1}{2} (0 - \frac{2}{3} \cdot 5^{2 (\frac{3}{2})})$

Этап 7.2.8.2

Перепишем это выражение.

$- \frac{1}{2} (0 - \frac{2}{3} \cdot 5^{3})$

Этап 7.2.9

Возведем $5$ в степень $3$ .

$- \frac{1}{2} (0 - \frac{2}{3} \cdot 125)$

Этап 7.2.10

Умножим $125$ на $- 1$ .

$- \frac{1}{2} (0 - 125 (\frac{2}{3}))$

Этап 7.2.11

Объединим $- 125$ и $\frac{2}{3}$ .

$- \frac{1}{2} (0 + \frac{- 125 \cdot 2}{3})$

Этап 7.2.12

Умножим $- 125$ на $2$ .

$- \frac{1}{2} (0 + \frac{- 250}{3})$

Этап 7.2.13

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{1}{2} (0 - \frac{250}{3})$

Этап 7.2.14

Вычтем $\frac{250}{3}$ из $0$ .

$- \frac{1}{2} (- \frac{250}{3})$

Этап 7.2.15

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$1 (\frac{1}{2}) \frac{250}{3}$

Этап 7.2.16

Умножим $\frac{1}{2}$ на $1$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{250}{3}$

Этап 7.2.17

Умножим $\frac{1}{2}$ на $\frac{250}{3}$ .

$\frac{250}{2 \cdot 3}$

Этап 7.2.18

Умножим $2$ на $3$ .

$\frac{250}{6}$

Этап 7.2.19

Сократим общий множитель $250$ и $6$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.19.1

Вынесем множитель $2$ из $250$ .

$\frac{2 (125)}{6}$

Этап 7.2.19.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.19.2.1

Вынесем множитель $2$ из $6$ .

$\frac{2 \cdot 125}{2 \cdot 3}$

Этап 7.2.19.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{2 \cdot 125}{2 \cdot 3}$

Этап 7.2.19.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{125}{3}$

Этап 8

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$\frac{125}{3}$

Десятичная форма:

$41.\overline{6}$

Форма смешанных чисел:

$41 \frac{2}{3}$

Этап 9