Математический анализ Примеры

$\int_{0}^{5} 4 \sqrt[3]{x^{2}} d x$

Этап 1

Поскольку $4$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $4$ из-под знака интеграла.

$4 \int_{0}^{5} \sqrt[3]{x^{2}} d x$

Этап 2

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt[3]{x^{2}}$ в виде $x^{\frac{2}{3}}$ .

$4 \int_{0}^{5} x^{\frac{2}{3}} d x$

Этап 3

По правилу степени интеграл $x^{\frac{2}{3}}$ по $x$ имеет вид $\frac{3}{5} x^{\frac{5}{3}}$ .

$4 (\frac{3}{5} x^{\frac{5}{3}}]_{0}^{5})$

Этап 4

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Объединим $\frac{3}{5}$ и $x^{\frac{5}{3}}$ .

$4 (\frac{3 x^{\frac{5}{3}}}{5}]_{0}^{5})$

Этап 4.2

Подставим и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Найдем значение $\frac{3 x^{\frac{5}{3}}}{5}$ в $5$ и в $0$ .

$4 ((\frac{3 \cdot 5^{\frac{5}{3}}}{5}) - \frac{3 \cdot 0^{\frac{5}{3}}}{5})$

Этап 4.2.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1

Перенесем $5^{1}$ в числитель, используя правило отрицательных степеней $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ .

$4 (3 \cdot 5^{\frac{5}{3}} \cdot 5^{- 1} - \frac{3 \cdot 0^{\frac{5}{3}}}{5})$

Этап 4.2.2.2

Умножим $5^{\frac{5}{3}}$ на $5^{- 1}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.2.1

Перенесем $5^{- 1}$ .

$4 (3 \cdot (5^{- 1} \cdot 5^{\frac{5}{3}}) - \frac{3 \cdot 0^{\frac{5}{3}}}{5})$

Этап 4.2.2.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$4 (3 \cdot 5^{- 1 + \frac{5}{3}} - \frac{3 \cdot 0^{\frac{5}{3}}}{5})$

Этап 4.2.2.2.3

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

$4 (3 \cdot 5^{- 1 \cdot \frac{3}{3} + \frac{5}{3}} - \frac{3 \cdot 0^{\frac{5}{3}}}{5})$

Этап 4.2.2.2.4

Объединим $- 1$ и $\frac{3}{3}$ .

$4 (3 \cdot 5^{\frac{- 1 \cdot 3}{3} + \frac{5}{3}} - \frac{3 \cdot 0^{\frac{5}{3}}}{5})$

Этап 4.2.2.2.5

Объединим числители над общим знаменателем.

$4 (3 \cdot 5^{\frac{- 1 \cdot 3 + 5}{3}} - \frac{3 \cdot 0^{\frac{5}{3}}}{5})$

Этап 4.2.2.2.6

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.2.6.1

Умножим $- 1$ на $3$ .

$4 (3 \cdot 5^{\frac{- 3 + 5}{3}} - \frac{3 \cdot 0^{\frac{5}{3}}}{5})$

Этап 4.2.2.2.6.2

Добавим $- 3$ и $5$ .

$4 (3 \cdot 5^{\frac{2}{3}} - \frac{3 \cdot 0^{\frac{5}{3}}}{5})$

Этап 4.2.2.3

Перепишем $0$ в виде $0^{3}$ .

$4 (3 \cdot 5^{\frac{2}{3}} - \frac{3 \cdot {(0^{3})}^{\frac{5}{3}}}{5})$

Этап 4.2.2.4

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$4 (3 \cdot 5^{\frac{2}{3}} - \frac{3 \cdot 0^{3 (\frac{5}{3})}}{5})$

Этап 4.2.2.5

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.5.1

Сократим общий множитель.

$4 (3 \cdot 5^{\frac{2}{3}} - \frac{3 \cdot 0^{3 (\frac{5}{3})}}{5})$

Этап 4.2.2.5.2

Перепишем это выражение.

$4 (3 \cdot 5^{\frac{2}{3}} - \frac{3 \cdot 0^{5}}{5})$

Этап 4.2.2.6

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$4 (3 \cdot 5^{\frac{2}{3}} - \frac{3 \cdot 0}{5})$

Этап 4.2.2.7

Умножим $3$ на $0$ .

$4 (3 \cdot 5^{\frac{2}{3}} - \frac{0}{5})$

Этап 4.2.2.8

Сократим общий множитель $0$ и $5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.8.1

Вынесем множитель $5$ из $0$ .

$4 (3 \cdot 5^{\frac{2}{3}} - \frac{5 (0)}{5})$

Этап 4.2.2.8.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.8.2.1

Вынесем множитель $5$ из $5$ .

$4 (3 \cdot 5^{\frac{2}{3}} - \frac{5 \cdot 0}{5 \cdot 1})$

Этап 4.2.2.8.2.2

Сократим общий множитель.

$4 (3 \cdot 5^{\frac{2}{3}} - \frac{5 \cdot 0}{5 \cdot 1})$

Этап 4.2.2.8.2.3

Перепишем это выражение.

$4 (3 \cdot 5^{\frac{2}{3}} - \frac{0}{1})$

Этап 4.2.2.8.2.4

Разделим $0$ на $1$ .

$4 (3 \cdot 5^{\frac{2}{3}} - 0)$

Этап 4.2.2.9

Умножим $- 1$ на $0$ .

$4 (3 \cdot 5^{\frac{2}{3}} + 0)$

Этап 4.2.2.10

Добавим $3 \cdot 5^{\frac{2}{3}}$ и $0$ .

$4 (3 \cdot 5^{\frac{2}{3}})$

Этап 4.2.2.11

Умножим $3$ на $4$ .

$12 \cdot 5^{\frac{2}{3}}$

Этап 5

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$12 \cdot 5^{\frac{2}{3}}$

Десятичная форма:

$35.08821285 \dots$

Этап 6