Математический анализ Примеры

$\int_{0}^{4.192} 120 \sin (2 t) d t$

Этап 1

Поскольку $120$ — константа по отношению к $t$ , вынесем $120$ из-под знака интеграла.

$120 \int_{0}^{4.192} \sin (2 t) d t$

Этап 2

Пусть $u = 2 t$ . Тогда $d u = 2 d t$ , следовательно $\frac{1}{2} d u = d t$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Пусть $u = 2 t$ . Найдем $\frac{d u}{d t}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Дифференцируем $2 t$ .

$\frac{d}{d t} [2 t]$

Этап 2.1.2

Поскольку $2$ является константой относительно $t$ , производная $2 t$ по $t$ равна $2 \frac{d}{d t} [t]$ .

$2 \frac{d}{d t} [t]$

Этап 2.1.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ имеет вид $n t^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Этап 2.1.4

Умножим $2$ на $1$ .

$2$

Этап 2.2

Подставим нижнее предельное значение вместо $t$ в $u = 2 t$ .

$u_{lower} = 2 \cdot 0$

Этап 2.3

Умножим $2$ на $0$ .

$u_{lower} = 0$

Этап 2.4

Подставим верхнее предельное значение вместо $t$ в $u = 2 t$ .

$u_{upper} = 2 \cdot 4.192$

Этап 2.5

Умножим $2$ на $4.192$ .

$u_{upper} = 8.384$

Этап 2.6

Значения, найденные для $u_{lower}$ и $u_{upper}$ , будут использованы для вычисления данного определенного интеграла.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = 8.384$

Этап 2.7

Переформулируем задачу, используя $u$ , $d u$ и новые пределы интегрирования.

$120 \int_{0}^{8.384} \sin (u) \frac{1}{2} d u$

Этап 3

Объединим $\sin (u)$ и $\frac{1}{2}$ .

$120 \int_{0}^{8.384} \frac{\sin (u)}{2} d u$

Этап 4

Поскольку $\frac{1}{2}$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $\frac{1}{2}$ из-под знака интеграла.

$120 (\frac{1}{2} \int_{0}^{8.384} \sin (u) d u)$

Этап 5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Объединим $\frac{1}{2}$ и $120$ .

$\frac{120}{2} \int_{0}^{8.384} \sin (u) d u$

Этап 5.2

Сократим общий множитель $120$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Вынесем множитель $2$ из $120$ .

$\frac{2 \cdot 60}{2} \int_{0}^{8.384} \sin (u) d u$

Этап 5.2.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$\frac{2 \cdot 60}{2 (1)} \int_{0}^{8.384} \sin (u) d u$

Этап 5.2.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{2 \cdot 60}{2 \cdot 1} \int_{0}^{8.384} \sin (u) d u$

Этап 5.2.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{60}{1} \int_{0}^{8.384} \sin (u) d u$

Этап 5.2.2.4

Разделим $60$ на $1$ .

$60 \int_{0}^{8.384} \sin (u) d u$

Этап 6

Интеграл $\sin (u)$ по $u$ имеет вид $- \cos (u)$ .

$60 (- \cos (u)]_{0}^{8.384})$

Этап 7

Найдем значение $- \cos (u)$ в $8.384$ и в $0$ .

$60 (- \cos (8.384) + \cos (0))$

Этап 8

Точное значение $\cos (0)$ : $1$ .

$60 (- \cos (8.384) + 1)$

Этап 9

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Применим свойство дистрибутивности.

$60 (- \cos (8.384)) + 60 \cdot 1$

Этап 9.2

Умножим $- 1$ на $60$ .

$- 60 \cos (8.384) + 60 \cdot 1$

Этап 9.3

Умножим $60$ на $1$ .

$- 60 \cos (8.384) + 60$

Этап 10

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$- 60 \cos (8.384) + 60$

Десятичная форма:

$90.33295124 \dots$