Математический анализ Примеры

$\int_{0}^{4} 4 \sqrt{x} d x$

Этап 1

Поскольку $4$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $4$ из-под знака интеграла.

$4 \int_{0}^{4} \sqrt{x} d x$

Этап 2

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{x}$ в виде $x^{\frac{1}{2}}$ .

$4 \int_{0}^{4} x^{\frac{1}{2}} d x$

Этап 3

По правилу степени интеграл $x^{\frac{1}{2}}$ по $x$ имеет вид $\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}$ .

$4 (\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}]_{0}^{4})$

Этап 4

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Объединим $\frac{2}{3}$ и $x^{\frac{3}{2}}$ .

$4 (\frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3}]_{0}^{4})$

Этап 4.2

Подставим и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Найдем значение $\frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3}$ в $4$ и в $0$ .

$4 ((\frac{2 \cdot 4^{\frac{3}{2}}}{3}) - \frac{2 \cdot 0^{\frac{3}{2}}}{3})$

Этап 4.2.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$4 (\frac{2 \cdot {(2^{2})}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2 \cdot 0^{\frac{3}{2}}}{3})$

Этап 4.2.2.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$4 (\frac{2 \cdot 2^{2 (\frac{3}{2})}}{3} - \frac{2 \cdot 0^{\frac{3}{2}}}{3})$

Этап 4.2.2.3

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.3.1

Сократим общий множитель.

$4 (\frac{2 \cdot 2^{2 (\frac{3}{2})}}{3} - \frac{2 \cdot 0^{\frac{3}{2}}}{3})$

Этап 4.2.2.3.2

Перепишем это выражение.

$4 (\frac{2 \cdot 2^{3}}{3} - \frac{2 \cdot 0^{\frac{3}{2}}}{3})$

Этап 4.2.2.4

Возведем $2$ в степень $3$ .

$4 (\frac{2 \cdot 8}{3} - \frac{2 \cdot 0^{\frac{3}{2}}}{3})$

Этап 4.2.2.5

Умножим $2$ на $8$ .

$4 (\frac{16}{3} - \frac{2 \cdot 0^{\frac{3}{2}}}{3})$

Этап 4.2.2.6

Перепишем $0$ в виде $0^{2}$ .

$4 (\frac{16}{3} - \frac{2 \cdot {(0^{2})}^{\frac{3}{2}}}{3})$

Этап 4.2.2.7

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$4 (\frac{16}{3} - \frac{2 \cdot 0^{2 (\frac{3}{2})}}{3})$

Этап 4.2.2.8

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.8.1

Сократим общий множитель.

$4 (\frac{16}{3} - \frac{2 \cdot 0^{2 (\frac{3}{2})}}{3})$

Этап 4.2.2.8.2

Перепишем это выражение.

$4 (\frac{16}{3} - \frac{2 \cdot 0^{3}}{3})$

Этап 4.2.2.9

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$4 (\frac{16}{3} - \frac{2 \cdot 0}{3})$

Этап 4.2.2.10

Умножим $2$ на $0$ .

$4 (\frac{16}{3} - \frac{0}{3})$

Этап 4.2.2.11

Сократим общий множитель $0$ и $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.11.1

Вынесем множитель $3$ из $0$ .

$4 (\frac{16}{3} - \frac{3 (0)}{3})$

Этап 4.2.2.11.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.11.2.1

Вынесем множитель $3$ из $3$ .

$4 (\frac{16}{3} - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1})$

Этап 4.2.2.11.2.2

Сократим общий множитель.

$4 (\frac{16}{3} - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1})$

Этап 4.2.2.11.2.3

Перепишем это выражение.

$4 (\frac{16}{3} - \frac{0}{1})$

Этап 4.2.2.11.2.4

Разделим $0$ на $1$ .

$4 (\frac{16}{3} - 0)$

Этап 4.2.2.12

Умножим $- 1$ на $0$ .

$4 (\frac{16}{3} + 0)$

Этап 4.2.2.13

Добавим $\frac{16}{3}$ и $0$ .

$4 (\frac{16}{3})$

Этап 4.2.2.14

Объединим $4$ и $\frac{16}{3}$ .

$\frac{4 \cdot 16}{3}$

Этап 4.2.2.15

Умножим $4$ на $16$ .

$\frac{64}{3}$

Этап 5

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$\frac{64}{3}$

Десятичная форма:

$21.\overline{3}$

Форма смешанных чисел:

$21 \frac{1}{3}$

Этап 6