Математический анализ Примеры

Вычислим интеграл интеграл в пределах от 0 до натурального логарифма 2 от (e^x+e^(-x))/3 по x
Этап 1
Поскольку  — константа по отношению к , вынесем из-под знака интеграла.
Этап 2
Разделим данный интеграл на несколько интегралов.
Этап 3
Интеграл по имеет вид .
Этап 4
Пусть . Тогда , следовательно . Перепишем, используя и .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 4.1
Пусть . Найдем .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 4.1.1
Дифференцируем .
Этап 4.1.2
Поскольку является константой относительно , производная по равна .
Этап 4.1.3
Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что имеет вид , где .
Этап 4.1.4
Умножим на .
Этап 4.2
Подставим нижнее предельное значение вместо в .
Этап 4.3
Умножим на .
Этап 4.4
Подставим верхнее предельное значение вместо в .
Этап 4.5
Значения, найденные для и , будут использованы для вычисления данного определенного интеграла.
Этап 4.6
Переформулируем задачу, используя , и новые пределы интегрирования.
Этап 5
Поскольку  — константа по отношению к , вынесем из-под знака интеграла.
Этап 6
Интеграл по имеет вид .
Этап 7
Подставим и упростим.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 7.1
Найдем значение в и в .
Этап 7.2
Найдем значение в и в .
Этап 7.3
Упростим.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 7.3.1
Экспонента и логарифм являются обратными функциями.
Этап 7.3.2
Любое число в степени равно .
Этап 7.3.3
Умножим на .
Этап 7.3.4
Вычтем из .
Этап 7.3.5
Любое число в степени равно .
Этап 7.3.6
Умножим на .
Этап 8
Упростим.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 8.1
Упростим каждый член.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 8.1.1
Упростим каждый член.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 8.1.1.1
Упростим путем переноса под логарифм.
Этап 8.1.1.2
Экспонента и логарифм являются обратными функциями.
Этап 8.1.1.3
Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней .
Этап 8.1.2
Чтобы записать в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на .
Этап 8.1.3
Объединим и .
Этап 8.1.4
Объединим числители над общим знаменателем.
Этап 8.1.5
Упростим числитель.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 8.1.5.1
Умножим на .
Этап 8.1.5.2
Вычтем из .
Этап 8.1.6
Вынесем знак минуса перед дробью.
Этап 8.1.7
Умножим .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 8.1.7.1
Умножим на .
Этап 8.1.7.2
Умножим на .
Этап 8.2
Запишем в виде дроби с общим знаменателем.
Этап 8.3
Объединим числители над общим знаменателем.
Этап 8.4
Добавим и .
Этап 8.5
Сократим общий множитель .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 8.5.1
Сократим общий множитель.
Этап 8.5.2
Перепишем это выражение.
Этап 9
Результат можно представить в различном виде.
Точная форма:
Десятичная форма:
Этап 10