Математический анализ Примеры

$\int_{0}^{\ln (2)} 2 e^{3 x} d x$

Этап 1

Поскольку $2$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $2$ из-под знака интеграла.

$2 \int_{0}^{\ln (2)} e^{3 x} d x$

Этап 2

Пусть $u = 3 x$ . Тогда $d u = 3 d x$ , следовательно $\frac{1}{3} d u = d x$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Пусть $u = 3 x$ . Найдем $\frac{d u}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Дифференцируем $3 x$ .

$\frac{d}{d x} [3 x]$

Этап 2.1.2

Поскольку $3$ является константой относительно $x$ , производная $3 x$ по $x$ равна $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x]$

Этап 2.1.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$3 \cdot 1$

Этап 2.1.4

Умножим $3$ на $1$ .

$3$

Этап 2.2

Подставим нижнее предельное значение вместо $x$ в $u = 3 x$ .

$u_{lower} = 3 \cdot 0$

Этап 2.3

Умножим $3$ на $0$ .

$u_{lower} = 0$

Этап 2.4

Подставим верхнее предельное значение вместо $x$ в $u = 3 x$ .

$u_{upper} = 3 \ln (2)$

Этап 2.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1

Упростим $3 \ln (2)$ путем переноса $3$ под логарифм.

$u_{upper} = \ln (2^{3})$

Этап 2.5.2

Возведем $2$ в степень $3$ .

$u_{upper} = \ln (8)$

Этап 2.6

Значения, найденные для $u_{lower}$ и $u_{upper}$ , будут использованы для вычисления данного определенного интеграла.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = \ln (8)$

Этап 2.7

Переформулируем задачу, используя $u$ , $d u$ и новые пределы интегрирования.

$2 \int_{0}^{\ln (8)} e^{u} \frac{1}{3} d u$

Этап 3

Объединим $e^{u}$ и $\frac{1}{3}$ .

$2 \int_{0}^{\ln (8)} \frac{e^{u}}{3} d u$

Этап 4

Поскольку $\frac{1}{3}$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $\frac{1}{3}$ из-под знака интеграла.

$2 (\frac{1}{3} \int_{0}^{\ln (8)} e^{u} d u)$

Этап 5

Объединим $\frac{1}{3}$ и $2$ .

$\frac{2}{3} \int_{0}^{\ln (8)} e^{u} d u$

Этап 6

Интеграл $e^{u}$ по $u$ имеет вид $e^{u}$ .

$\frac{2}{3} e^{u}]_{0}^{\ln (8)}$

Этап 7

Подставим и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Найдем значение $e^{u}$ в $\ln (8)$ и в $0$ .

$\frac{2}{3} ((e^{\ln (8)}) - e^{0})$

Этап 7.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1

Экспонента и логарифм являются обратными функциями.

$\frac{2}{3} (8 - e^{0})$

Этап 7.2.2

Любое число в степени $0$ равно $1$ .

$\frac{2}{3} (8 - 1 \cdot 1)$

Этап 7.2.3

Умножим $- 1$ на $1$ .

$\frac{2}{3} (8 - 1)$

Этап 7.2.4

Вычтем $1$ из $8$ .

$\frac{2}{3} \cdot 7$

Этап 7.2.5

Объединим $\frac{2}{3}$ и $7$ .

$\frac{2 \cdot 7}{3}$

Этап 7.2.6

Умножим $2$ на $7$ .

$\frac{14}{3}$

Этап 8

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$\frac{14}{3}$

Десятичная форма:

$4.\overline{6}$

Форма смешанных чисел:

$4 \frac{2}{3}$

Этап 9