Математический анализ Примеры

$\int_{0}^{a} x \sqrt{a^{2} - x^{2}} d x$

Этап 1

Пусть $u = a^{2} - x^{2}$ . Тогда $d u = - 2 x d x$ , следовательно $- \frac{1}{2} d u = x d x$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Пусть $u = a^{2} - x^{2}$ . Найдем $\frac{d u}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Дифференцируем $a^{2} - x^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [a^{2} - x^{2}]$

Этап 1.1.2

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.1

По правилу суммы производная $a^{2} - x^{2}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [a^{2}] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [a^{2}] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Этап 1.1.2.2

Поскольку $a^{2}$ является константой относительно $x$ , производная $a^{2}$ относительно $x$ равна $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Этап 1.1.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.1

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- x^{2}$ по $x$ равна $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$0 - \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Этап 1.1.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$0 - (2 x)$

Этап 1.1.3.3

Умножим $2$ на $- 1$ .

$0 - 2 x$

Этап 1.1.4

Вычтем $2 x$ из $0$ .

$- 2 x$

Этап 1.2

Подставим нижнее предельное значение вместо $x$ в $u = a^{2} - x^{2}$ .

$u_{lower} = a^{2} - 0^{2}$

Этап 1.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1.1

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$u_{lower} = a^{2} - 0$

Этап 1.3.1.2

Умножим $- 1$ на $0$ .

$u_{lower} = a^{2} + 0$

Этап 1.3.2

Добавим $a^{2}$ и $0$ .

$u_{lower} = a^{2}$

Этап 1.4

Подставим верхнее предельное значение вместо $x$ в $u = a^{2} - x^{2}$ .

$u_{upper} = a^{2} - a^{2}$

Этап 1.5

Вычтем $a^{2}$ из $a^{2}$ .

$u_{upper} = 0$

Этап 1.6

Значения, найденные для $u_{lower}$ и $u_{upper}$ , будут использованы для вычисления данного определенного интеграла.

$u_{lower} = a^{2}$

$u_{upper} = 0$

Этап 1.7

Переформулируем задачу, используя $u$ , $d u$ и новые пределы интегрирования.

$\int_{a^{2}}^{0} \sqrt{u} \frac{1}{- 2} d u$

Этап 2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\int_{a^{2}}^{0} \sqrt{u} (- \frac{1}{2}) d u$

Этап 2.2

Объединим $\sqrt{u}$ и $\frac{1}{2}$ .

$\int_{a^{2}}^{0} - \frac{\sqrt{u}}{2} d u$

Этап 3

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$- \int_{a^{2}}^{0} \frac{\sqrt{u}}{2} d u$

Этап 4

Поскольку $\frac{1}{2}$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $\frac{1}{2}$ из-под знака интеграла.

$- (\frac{1}{2} \int_{a^{2}}^{0} \sqrt{u} d u)$

Этап 5

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{u}$ в виде $u^{\frac{1}{2}}$ .

$- \frac{1}{2} \int_{a^{2}}^{0} u^{\frac{1}{2}} d u$

Этап 6

По правилу степени интеграл $u^{\frac{1}{2}}$ по $u$ имеет вид $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ .

$- \frac{1}{2} \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}]_{a^{2}}^{0}$

Этап 7

Подставим и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Найдем значение $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ в $0$ и в $a^{2}$ .

$- \frac{1}{2} ((\frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{3} {(a^{2})}^{\frac{3}{2}})$

Этап 7.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1

Перепишем $0$ в виде $0^{2}$ .

$- \frac{1}{2} (\frac{2}{3} \cdot {(0^{2})}^{\frac{3}{2}} - \frac{2}{3} {(a^{2})}^{\frac{3}{2}})$

Этап 7.2.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{1}{2} (\frac{2}{3} \cdot 0^{2 (\frac{3}{2})} - \frac{2}{3} {(a^{2})}^{\frac{3}{2}})$

Этап 7.2.3

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.3.1

Сократим общий множитель.

$- \frac{1}{2} (\frac{2}{3} \cdot 0^{2 (\frac{3}{2})} - \frac{2}{3} {(a^{2})}^{\frac{3}{2}})$

Этап 7.2.3.2

Перепишем это выражение.

$- \frac{1}{2} (\frac{2}{3} \cdot 0^{3} - \frac{2}{3} {(a^{2})}^{\frac{3}{2}})$

Этап 7.2.4

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$- \frac{1}{2} (\frac{2}{3} \cdot 0 - \frac{2}{3} {(a^{2})}^{\frac{3}{2}})$

Этап 7.2.5

Умножим $\frac{2}{3}$ на $0$ .

$- \frac{1}{2} (0 - \frac{2}{3} {(a^{2})}^{\frac{3}{2}})$

Этап 7.2.6

Перемножим экспоненты в ${(a^{2})}^{\frac{3}{2}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.6.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{1}{2} (0 - \frac{2}{3} a^{2 (\frac{3}{2})})$

Этап 7.2.6.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.6.2.1

Сократим общий множитель.

$- \frac{1}{2} (0 - \frac{2}{3} a^{2 (\frac{3}{2})})$

Этап 7.2.6.2.2

Перепишем это выражение.

$- \frac{1}{2} (0 - \frac{2}{3} a^{3})$

Этап 7.2.7

Вычтем $\frac{2}{3} a^{3}$ из $0$ .

$- \frac{1}{2} (- \frac{2}{3} a^{3})$

Этап 7.2.8

Объединим $a^{3}$ и $\frac{2}{3}$ .

$- \frac{1}{2} (- \frac{a^{3} \cdot 2}{3})$

Этап 7.2.9

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$1 (\frac{1}{2}) \frac{a^{3} \cdot 2}{3}$

Этап 7.2.10

Умножим $\frac{1}{2}$ на $1$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{a^{3} \cdot 2}{3}$

Этап 7.2.11

Умножим $\frac{1}{2}$ на $\frac{a^{3} \cdot 2}{3}$ .

$\frac{a^{3} \cdot 2}{2 \cdot 3}$

Этап 7.2.12

Умножим $2$ на $3$ .

$\frac{a^{3} \cdot 2}{6}$

Этап 7.2.13

Перенесем $2$ влево от $a^{3}$ .

$\frac{2 \cdot a^{3}}{6}$

Этап 7.2.14

Сократим общий множитель $2$ и $6$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.14.1

Вынесем множитель $2$ из $2 a^{3}$ .

$\frac{2 (a^{3})}{6}$

Этап 7.2.14.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.14.2.1

Вынесем множитель $2$ из $6$ .

$\frac{2 a^{3}}{2 \cdot 3}$

Этап 7.2.14.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{2 a^{3}}{2 \cdot 3}$

Этап 7.2.14.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{a^{3}}{3}$

Этап 8

Изменим порядок членов.

$\frac{1}{3} a^{3}$

Этап 9

Объединим $\frac{1}{3}$ и $a^{3}$ .

$\frac{a^{3}}{3}$