Математический анализ Примеры

$\int_{0}^{1} x \sqrt{1 - x} d x$

Этап 1

Проинтегрируем по частям, используя формулу $\int u d v = u v - \int v d u$ , где $u = x$ и $d v = \sqrt{1 - x}$ .

$x (- \frac{2}{3} {(1 - x)}^{\frac{3}{2}})]_{0}^{1} - \int_{0}^{1} - \frac{2}{3} {(1 - x)}^{\frac{3}{2}} d x$

Этап 2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Объединим ${(1 - x)}^{\frac{3}{2}}$ и $\frac{2}{3}$ .

$x (- \frac{{(1 - x)}^{\frac{3}{2}} \cdot 2}{3})]_{0}^{1} - \int_{0}^{1} - \frac{2}{3} {(1 - x)}^{\frac{3}{2}} d x$

Этап 2.2

Объединим $x$ и $\frac{{(1 - x)}^{\frac{3}{2}} \cdot 2}{3}$ .

$- \frac{x ({(1 - x)}^{\frac{3}{2}} \cdot 2)}{3}]_{0}^{1} - \int_{0}^{1} - \frac{2}{3} {(1 - x)}^{\frac{3}{2}} d x$

Этап 2.3

Перенесем $2$ влево от ${(1 - x)}^{\frac{3}{2}}$ .

$- \frac{x (2 {(1 - x)}^{\frac{3}{2}})}{3}]_{0}^{1} - \int_{0}^{1} - \frac{2}{3} {(1 - x)}^{\frac{3}{2}} d x$

Этап 3

Поскольку $- \frac{2}{3}$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- \frac{2}{3}$ из-под знака интеграла.

$- \frac{x (2 {(1 - x)}^{\frac{3}{2}})}{3}]_{0}^{1} - (- \frac{2}{3} \int_{0}^{1} {(1 - x)}^{\frac{3}{2}} d x)$

Этап 4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$- \frac{x (2 {(1 - x)}^{\frac{3}{2}})}{3}]_{0}^{1} + 1 (\frac{2}{3} \int_{0}^{1} {(1 - x)}^{\frac{3}{2}} d x)$

Этап 4.2

Умножим $\frac{2}{3}$ на $1$ .

$- \frac{x (2 {(1 - x)}^{\frac{3}{2}})}{3}]_{0}^{1} + \frac{2}{3} \int_{0}^{1} {(1 - x)}^{\frac{3}{2}} d x$

Этап 5

Пусть $u = 1 - x$ . Тогда $d u = - d x$ , следовательно $- d u = d x$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Пусть $u = 1 - x$ . Найдем $\frac{d u}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1

Дифференцируем $1 - x$ .

$\frac{d}{d x} [1 - x]$

Этап 5.1.2

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.2.1

По правилу суммы производная $1 - x$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x]$

Этап 5.1.2.2

Поскольку $1$ является константой относительно $x$ , производная $1$ относительно $x$ равна $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [- x]$

Этап 5.1.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.3.1

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- x$ по $x$ равна $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$0 - \frac{d}{d x} [x]$

Этап 5.1.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$0 - 1 \cdot 1$

Этап 5.1.3.3

Умножим $- 1$ на $1$ .

$0 - 1$

Этап 5.1.4

Вычтем $1$ из $0$ .

$- 1$

Этап 5.2

Подставим нижнее предельное значение вместо $x$ в $u = 1 - x$ .

$u_{lower} = 1 - 0$

Этап 5.3

Вычтем $0$ из $1$ .

$u_{lower} = 1$

Этап 5.4

Подставим верхнее предельное значение вместо $x$ в $u = 1 - x$ .

$u_{upper} = 1 - 1 \cdot 1$

Этап 5.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.1

Умножим $- 1$ на $1$ .

$u_{upper} = 1 - 1$

Этап 5.5.2

Вычтем $1$ из $1$ .

$u_{upper} = 0$

Этап 5.6

Значения, найденные для $u_{lower}$ и $u_{upper}$ , будут использованы для вычисления данного определенного интеграла.

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = 0$

Этап 5.7

Переформулируем задачу, используя $u$ , $d u$ и новые пределы интегрирования.

$- \frac{x (2 {(1 - x)}^{\frac{3}{2}})}{3}]_{0}^{1} + \frac{2}{3} \int_{1}^{0} - u^{\frac{3}{2}} d u$

Этап 6

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$- \frac{x (2 {(1 - x)}^{\frac{3}{2}})}{3}]_{0}^{1} + \frac{2}{3} (- \int_{1}^{0} u^{\frac{3}{2}} d u)$

Этап 7

По правилу степени интеграл $u^{\frac{3}{2}}$ по $u$ имеет вид $\frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}}$ .

$- \frac{x (2 {(1 - x)}^{\frac{3}{2}})}{3}]_{0}^{1} + \frac{2}{3} (- (\frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}}]_{1}^{0}))$

Этап 8

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Объединим $\frac{2}{5}$ и $u^{\frac{5}{2}}$ .

$- \frac{x (2 {(1 - x)}^{\frac{3}{2}})}{3}]_{0}^{1} + \frac{2}{3} (- (\frac{2 u^{\frac{5}{2}}}{5}]_{1}^{0}))$

Этап 8.2

Объединим $\frac{2}{3}$ и $\frac{2 u^{\frac{5}{2}}}{5}]_{1}^{0}$ .

$- \frac{x (2 {(1 - x)}^{\frac{3}{2}})}{3}]_{0}^{1} - \frac{2 (\frac{2 u^{\frac{5}{2}}}{5}]_{1}^{0})}{3}$

Этап 8.3

Чтобы записать $- \frac{x (2 {(1 - x)}^{\frac{3}{2}})}{3}]_{0}^{1}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{x (2 {(1 - x)}^{\frac{3}{2}})}{3}]_{0}^{1} \cdot \frac{3}{3} - \frac{2 (\frac{2 u^{\frac{5}{2}}}{5}]_{1}^{0})}{3}$

Этап 8.4

Объединим $- \frac{x (2 {(1 - x)}^{\frac{3}{2}})}{3}]_{0}^{1}$ и $\frac{3}{3}$ .

$\frac{- \frac{x (2 {(1 - x)}^{\frac{3}{2}})}{3}]_{0}^{1} \cdot 3}{3} - \frac{2 (\frac{2 u^{\frac{5}{2}}}{5}]_{1}^{0})}{3}$

Этап 8.5

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{- \frac{x (2 {(1 - x)}^{\frac{3}{2}})}{3}]_{0}^{1} \cdot 3 - 2 (\frac{2 u^{\frac{5}{2}}}{5}]_{1}^{0})}{3}$

Этап 8.6

Перенесем $3$ влево от $- \frac{x (2 {(1 - x)}^{\frac{3}{2}})}{3}]_{0}^{1}$ .

$\frac{3 (- \frac{x (2 {(1 - x)}^{\frac{3}{2}})}{3}]_{0}^{1}) - 2 (\frac{2 u^{\frac{5}{2}}}{5}]_{1}^{0})}{3}$

Этап 9

Подставим и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Найдем значение $- \frac{x (2 {(1 - x)}^{\frac{3}{2}})}{3}$ в $1$ и в $0$ .

$\frac{3 ((- \frac{1 (2 {(1 - 1 \cdot 1)}^{\frac{3}{2}})}{3}) + \frac{0 (2 {(1 - 0)}^{\frac{3}{2}})}{3}) - 2 (\frac{2 u^{\frac{5}{2}}}{5}]_{1}^{0})}{3}$

Этап 9.2

Найдем значение $\frac{2 u^{\frac{5}{2}}}{5}$ в $0$ и в $1$ .

$\frac{3 ((- \frac{1 (2 {(1 - 1 \cdot 1)}^{\frac{3}{2}})}{3}) + \frac{0 (2 {(1 - 0)}^{\frac{3}{2}})}{3}) - 2 ((\frac{2 \cdot 0^{\frac{5}{2}}}{5}) - \frac{2 \cdot 1^{\frac{5}{2}}}{5})}{3}$

Этап 9.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.3.1

Умножим $- 1$ на $1$ .

$\frac{3 (- \frac{1 (2 {(1 - 1)}^{\frac{3}{2}})}{3} + \frac{0 (2 {(1 - 0)}^{\frac{3}{2}})}{3}) - 2 ((\frac{2 \cdot 0^{\frac{5}{2}}}{5}) - \frac{2 \cdot 1^{\frac{5}{2}}}{5})}{3}$

Этап 9.3.2

Вычтем $1$ из $1$ .

$\frac{3 (- \frac{1 (2 \cdot 0^{\frac{3}{2}})}{3} + \frac{0 (2 {(1 - 0)}^{\frac{3}{2}})}{3}) - 2 ((\frac{2 \cdot 0^{\frac{5}{2}}}{5}) - \frac{2 \cdot 1^{\frac{5}{2}}}{5})}{3}$

Этап 9.3.3

Перепишем $0$ в виде $0^{2}$ .

$\frac{3 (- \frac{1 (2 \cdot {(0^{2})}^{\frac{3}{2}})}{3} + \frac{0 (2 {(1 - 0)}^{\frac{3}{2}})}{3}) - 2 ((\frac{2 \cdot 0^{\frac{5}{2}}}{5}) - \frac{2 \cdot 1^{\frac{5}{2}}}{5})}{3}$

Этап 9.3.4

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{3 (- \frac{1 (2 \cdot 0^{2 (\frac{3}{2})})}{3} + \frac{0 (2 {(1 - 0)}^{\frac{3}{2}})}{3}) - 2 ((\frac{2 \cdot 0^{\frac{5}{2}}}{5}) - \frac{2 \cdot 1^{\frac{5}{2}}}{5})}{3}$

Этап 9.3.5

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.3.5.1

Сократим общий множитель.

$\frac{3 (- \frac{1 (2 \cdot 0^{2 (\frac{3}{2})})}{3} + \frac{0 (2 {(1 - 0)}^{\frac{3}{2}})}{3}) - 2 ((\frac{2 \cdot 0^{\frac{5}{2}}}{5}) - \frac{2 \cdot 1^{\frac{5}{2}}}{5})}{3}$

Этап 9.3.5.2

Перепишем это выражение.

$\frac{3 (- \frac{1 (2 \cdot 0^{3})}{3} + \frac{0 (2 {(1 - 0)}^{\frac{3}{2}})}{3}) - 2 ((\frac{2 \cdot 0^{\frac{5}{2}}}{5}) - \frac{2 \cdot 1^{\frac{5}{2}}}{5})}{3}$

Этап 9.3.6

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$\frac{3 (- \frac{1 (2 \cdot 0)}{3} + \frac{0 (2 {(1 - 0)}^{\frac{3}{2}})}{3}) - 2 ((\frac{2 \cdot 0^{\frac{5}{2}}}{5}) - \frac{2 \cdot 1^{\frac{5}{2}}}{5})}{3}$

Этап 9.3.7

Умножим $2$ на $0$ .

$\frac{3 (- \frac{1 \cdot 0}{3} + \frac{0 (2 {(1 - 0)}^{\frac{3}{2}})}{3}) - 2 ((\frac{2 \cdot 0^{\frac{5}{2}}}{5}) - \frac{2 \cdot 1^{\frac{5}{2}}}{5})}{3}$

Этап 9.3.8

Умножим $0$ на $1$ .

$\frac{3 (- \frac{0}{3} + \frac{0 (2 {(1 - 0)}^{\frac{3}{2}})}{3}) - 2 ((\frac{2 \cdot 0^{\frac{5}{2}}}{5}) - \frac{2 \cdot 1^{\frac{5}{2}}}{5})}{3}$

Этап 9.3.9

Сократим общий множитель $0$ и $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.3.9.1

Вынесем множитель $3$ из $0$ .

$\frac{3 (- \frac{3 (0)}{3} + \frac{0 (2 {(1 - 0)}^{\frac{3}{2}})}{3}) - 2 ((\frac{2 \cdot 0^{\frac{5}{2}}}{5}) - \frac{2 \cdot 1^{\frac{5}{2}}}{5})}{3}$

Этап 9.3.9.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.3.9.2.1

Вынесем множитель $3$ из $3$ .

$\frac{3 (- \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1} + \frac{0 (2 {(1 - 0)}^{\frac{3}{2}})}{3}) - 2 ((\frac{2 \cdot 0^{\frac{5}{2}}}{5}) - \frac{2 \cdot 1^{\frac{5}{2}}}{5})}{3}$

Этап 9.3.9.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{3 (- \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1} + \frac{0 (2 {(1 - 0)}^{\frac{3}{2}})}{3}) - 2 ((\frac{2 \cdot 0^{\frac{5}{2}}}{5}) - \frac{2 \cdot 1^{\frac{5}{2}}}{5})}{3}$

Этап 9.3.9.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{3 (- \frac{0}{1} + \frac{0 (2 {(1 - 0)}^{\frac{3}{2}})}{3}) - 2 ((\frac{2 \cdot 0^{\frac{5}{2}}}{5}) - \frac{2 \cdot 1^{\frac{5}{2}}}{5})}{3}$

Этап 9.3.9.2.4

Разделим $0$ на $1$ .

$\frac{3 (- 0 + \frac{0 (2 {(1 - 0)}^{\frac{3}{2}})}{3}) - 2 ((\frac{2 \cdot 0^{\frac{5}{2}}}{5}) - \frac{2 \cdot 1^{\frac{5}{2}}}{5})}{3}$

Этап 9.3.10

Умножим $- 1$ на $0$ .

$\frac{3 (0 + \frac{0 (2 {(1 - 0)}^{\frac{3}{2}})}{3}) - 2 ((\frac{2 \cdot 0^{\frac{5}{2}}}{5}) - \frac{2 \cdot 1^{\frac{5}{2}}}{5})}{3}$

Этап 9.3.11

Умножим $- 1$ на $0$ .

$\frac{3 (0 + \frac{0 (2 {(1 + 0)}^{\frac{3}{2}})}{3}) - 2 ((\frac{2 \cdot 0^{\frac{5}{2}}}{5}) - \frac{2 \cdot 1^{\frac{5}{2}}}{5})}{3}$

Этап 9.3.12

Добавим $1$ и $0$ .

$\frac{3 (0 + \frac{0 (2 \cdot 1^{\frac{3}{2}})}{3}) - 2 ((\frac{2 \cdot 0^{\frac{5}{2}}}{5}) - \frac{2 \cdot 1^{\frac{5}{2}}}{5})}{3}$

Этап 9.3.13

Единица в любой степени равна единице.

$\frac{3 (0 + \frac{0 (2 \cdot 1)}{3}) - 2 ((\frac{2 \cdot 0^{\frac{5}{2}}}{5}) - \frac{2 \cdot 1^{\frac{5}{2}}}{5})}{3}$

Этап 9.3.14

Умножим $2$ на $1$ .

$\frac{3 (0 + \frac{0 \cdot 2}{3}) - 2 ((\frac{2 \cdot 0^{\frac{5}{2}}}{5}) - \frac{2 \cdot 1^{\frac{5}{2}}}{5})}{3}$

Этап 9.3.15

Умножим $0$ на $2$ .

$\frac{3 (0 + \frac{0}{3}) - 2 ((\frac{2 \cdot 0^{\frac{5}{2}}}{5}) - \frac{2 \cdot 1^{\frac{5}{2}}}{5})}{3}$

Этап 9.3.16

Сократим общий множитель $0$ и $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.3.16.1

Вынесем множитель $3$ из $0$ .

$\frac{3 (0 + \frac{3 (0)}{3}) - 2 ((\frac{2 \cdot 0^{\frac{5}{2}}}{5}) - \frac{2 \cdot 1^{\frac{5}{2}}}{5})}{3}$

Этап 9.3.16.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.3.16.2.1

Вынесем множитель $3$ из $3$ .

$\frac{3 (0 + \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1}) - 2 ((\frac{2 \cdot 0^{\frac{5}{2}}}{5}) - \frac{2 \cdot 1^{\frac{5}{2}}}{5})}{3}$

Этап 9.3.16.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{3 (0 + \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1}) - 2 ((\frac{2 \cdot 0^{\frac{5}{2}}}{5}) - \frac{2 \cdot 1^{\frac{5}{2}}}{5})}{3}$

Этап 9.3.16.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{3 (0 + \frac{0}{1}) - 2 ((\frac{2 \cdot 0^{\frac{5}{2}}}{5}) - \frac{2 \cdot 1^{\frac{5}{2}}}{5})}{3}$

Этап 9.3.16.2.4

Разделим $0$ на $1$ .

$\frac{3 (0 + 0) - 2 ((\frac{2 \cdot 0^{\frac{5}{2}}}{5}) - \frac{2 \cdot 1^{\frac{5}{2}}}{5})}{3}$

Этап 9.3.17

Добавим $0$ и $0$ .

$\frac{3 \cdot 0 - 2 ((\frac{2 \cdot 0^{\frac{5}{2}}}{5}) - \frac{2 \cdot 1^{\frac{5}{2}}}{5})}{3}$

Этап 9.3.18

Умножим $3$ на $0$ .

$\frac{0 - 2 ((\frac{2 \cdot 0^{\frac{5}{2}}}{5}) - \frac{2 \cdot 1^{\frac{5}{2}}}{5})}{3}$

Этап 9.3.19

Перепишем $0$ в виде $0^{2}$ .

$\frac{0 - 2 (\frac{2 \cdot {(0^{2})}^{\frac{5}{2}}}{5} - \frac{2 \cdot 1^{\frac{5}{2}}}{5})}{3}$

Этап 9.3.20

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{0 - 2 (\frac{2 \cdot 0^{2 (\frac{5}{2})}}{5} - \frac{2 \cdot 1^{\frac{5}{2}}}{5})}{3}$

Этап 9.3.21

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.3.21.1

Сократим общий множитель.

$\frac{0 - 2 (\frac{2 \cdot 0^{2 (\frac{5}{2})}}{5} - \frac{2 \cdot 1^{\frac{5}{2}}}{5})}{3}$

Этап 9.3.21.2

Перепишем это выражение.

$\frac{0 - 2 (\frac{2 \cdot 0^{5}}{5} - \frac{2 \cdot 1^{\frac{5}{2}}}{5})}{3}$

Этап 9.3.22

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$\frac{0 - 2 (\frac{2 \cdot 0}{5} - \frac{2 \cdot 1^{\frac{5}{2}}}{5})}{3}$

Этап 9.3.23

Умножим $2$ на $0$ .

$\frac{0 - 2 (\frac{0}{5} - \frac{2 \cdot 1^{\frac{5}{2}}}{5})}{3}$

Этап 9.3.24

Сократим общий множитель $0$ и $5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.3.24.1

Вынесем множитель $5$ из $0$ .

$\frac{0 - 2 (\frac{5 (0)}{5} - \frac{2 \cdot 1^{\frac{5}{2}}}{5})}{3}$

Этап 9.3.24.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.3.24.2.1

Вынесем множитель $5$ из $5$ .

$\frac{0 - 2 (\frac{5 \cdot 0}{5 \cdot 1} - \frac{2 \cdot 1^{\frac{5}{2}}}{5})}{3}$

Этап 9.3.24.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{0 - 2 (\frac{5 \cdot 0}{5 \cdot 1} - \frac{2 \cdot 1^{\frac{5}{2}}}{5})}{3}$

Этап 9.3.24.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{0 - 2 (\frac{0}{1} - \frac{2 \cdot 1^{\frac{5}{2}}}{5})}{3}$

Этап 9.3.24.2.4

Разделим $0$ на $1$ .

$\frac{0 - 2 (0 - \frac{2 \cdot 1^{\frac{5}{2}}}{5})}{3}$

Этап 9.3.25

Единица в любой степени равна единице.

$\frac{0 - 2 (0 - \frac{2 \cdot 1}{5})}{3}$

Этап 9.3.26

Умножим $2$ на $1$ .

$\frac{0 - 2 (0 - \frac{2}{5})}{3}$

Этап 9.3.27

Вычтем $\frac{2}{5}$ из $0$ .

$\frac{0 - 2 (- \frac{2}{5})}{3}$

Этап 9.3.28

Умножим $- 1$ на $- 2$ .

$\frac{0 + 2 (\frac{2}{5})}{3}$

Этап 9.3.29

Объединим $2$ и $\frac{2}{5}$ .

$\frac{0 + \frac{2 \cdot 2}{5}}{3}$

Этап 9.3.30

Умножим $2$ на $2$ .

$\frac{0 + \frac{4}{5}}{3}$

Этап 9.3.31

Добавим $0$ и $\frac{4}{5}$ .

$\frac{\frac{4}{5}}{3}$

Этап 9.3.32

Перепишем $\frac{\frac{4}{5}}{3}$ в виде произведения.

$\frac{4}{5} \cdot \frac{1}{3}$

Этап 9.3.33

Умножим $\frac{4}{5}$ на $\frac{1}{3}$ .

$\frac{4}{5 \cdot 3}$

Этап 9.3.34

Умножим $5$ на $3$ .

$\frac{4}{15}$

Этап 10

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$\frac{4}{15}$

Десятичная форма:

$0.2\overline{6}$

Этап 11