Математический анализ Примеры

$\int_{0}^{2} 9 x^{2} - 8 x + 1 d x$

Этап 1

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int_{0}^{2} 9 x^{2} d x + \int_{0}^{2} - 8 x d x + \int_{0}^{2} d x$

Этап 2

Поскольку $9$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $9$ из-под знака интеграла.

$9 \int_{0}^{2} x^{2} d x + \int_{0}^{2} - 8 x d x + \int_{0}^{2} d x$

Этап 3

По правилу степени интеграл $x^{2}$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$9 (\frac{1}{3} x^{3}]_{0}^{2}) + \int_{0}^{2} - 8 x d x + \int_{0}^{2} d x$

Этап 4

Объединим $\frac{1}{3}$ и $x^{3}$ .

$9 (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{2}) + \int_{0}^{2} - 8 x d x + \int_{0}^{2} d x$

Этап 5

Поскольку $- 8$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- 8$ из-под знака интеграла.

$9 (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{2}) - 8 \int_{0}^{2} x d x + \int_{0}^{2} d x$

Этап 6

По правилу степени интеграл $x$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$9 (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{2}) - 8 (\frac{1}{2} x^{2}]_{0}^{2}) + \int_{0}^{2} d x$

Этап 7

Объединим $\frac{1}{2}$ и $x^{2}$ .

$9 (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{2}) - 8 (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{2}) + \int_{0}^{2} d x$

Этап 8

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$9 (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{2}) - 8 (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{2}) + x]_{0}^{2}$

Этап 9

Подставим и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Найдем значение $\frac{x^{3}}{3}$ в $2$ и в $0$ .

$9 ((\frac{2^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3}) - 8 (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{2}) + x]_{0}^{2}$

Этап 9.2

Найдем значение $\frac{x^{2}}{2}$ в $2$ и в $0$ .

$9 (\frac{2^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) - 8 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}) + x]_{0}^{2}$

Этап 9.3

Найдем значение $x$ в $2$ и в $0$ .

$9 (\frac{2^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) - 8 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}) + (2) + 0$

Этап 9.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.4.1

Возведем $2$ в степень $3$ .

$9 (\frac{8}{3} - \frac{0^{3}}{3}) - 8 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}) + (2) + 0$

Этап 9.4.2

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$9 (\frac{8}{3} - \frac{0}{3}) - 8 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}) + (2) + 0$

Этап 9.4.3

Сократим общий множитель $0$ и $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.4.3.1

Вынесем множитель $3$ из $0$ .

$9 (\frac{8}{3} - \frac{3 (0)}{3}) - 8 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}) + (2) + 0$

Этап 9.4.3.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.4.3.2.1

Вынесем множитель $3$ из $3$ .

$9 (\frac{8}{3} - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1}) - 8 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}) + (2) + 0$

Этап 9.4.3.2.2

Сократим общий множитель.

$9 (\frac{8}{3} - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1}) - 8 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}) + (2) + 0$

Этап 9.4.3.2.3

Перепишем это выражение.

$9 (\frac{8}{3} - \frac{0}{1}) - 8 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}) + (2) + 0$

Этап 9.4.3.2.4

Разделим $0$ на $1$ .

$9 (\frac{8}{3} - 0) - 8 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}) + (2) + 0$

Этап 9.4.4

Умножим $- 1$ на $0$ .

$9 (\frac{8}{3} + 0) - 8 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}) + (2) + 0$

Этап 9.4.5

Добавим $\frac{8}{3}$ и $0$ .

$9 (\frac{8}{3}) - 8 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}) + (2) + 0$

Этап 9.4.6

Объединим $9$ и $\frac{8}{3}$ .

$\frac{9 \cdot 8}{3} - 8 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}) + (2) + 0$

Этап 9.4.7

Умножим $9$ на $8$ .

$\frac{72}{3} - 8 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}) + (2) + 0$

Этап 9.4.8

Сократим общий множитель $72$ и $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.4.8.1

Вынесем множитель $3$ из $72$ .

$\frac{3 \cdot 24}{3} - 8 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}) + (2) + 0$

Этап 9.4.8.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.4.8.2.1

Вынесем множитель $3$ из $3$ .

$\frac{3 \cdot 24}{3 (1)} - 8 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}) + (2) + 0$

Этап 9.4.8.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{3 \cdot 24}{3 \cdot 1} - 8 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}) + (2) + 0$

Этап 9.4.8.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{24}{1} - 8 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}) + (2) + 0$

Этап 9.4.8.2.4

Разделим $24$ на $1$ .

$24 - 8 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}) + (2) + 0$

Этап 9.4.9

Возведем $2$ в степень $2$ .

$24 - 8 (\frac{4}{2} - \frac{0^{2}}{2}) + (2) + 0$

Этап 9.4.10

Сократим общий множитель $4$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.4.10.1

Вынесем множитель $2$ из $4$ .

$24 - 8 (\frac{2 \cdot 2}{2} - \frac{0^{2}}{2}) + (2) + 0$

Этап 9.4.10.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.4.10.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$24 - 8 (\frac{2 \cdot 2}{2 (1)} - \frac{0^{2}}{2}) + (2) + 0$

Этап 9.4.10.2.2

Сократим общий множитель.

$24 - 8 (\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1} - \frac{0^{2}}{2}) + (2) + 0$

Этап 9.4.10.2.3

Перепишем это выражение.

$24 - 8 (\frac{2}{1} - \frac{0^{2}}{2}) + (2) + 0$

Этап 9.4.10.2.4

Разделим $2$ на $1$ .

$24 - 8 (2 - \frac{0^{2}}{2}) + (2) + 0$

Этап 9.4.11

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$24 - 8 (2 - \frac{0}{2}) + (2) + 0$

Этап 9.4.12

Сократим общий множитель $0$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.4.12.1

Вынесем множитель $2$ из $0$ .

$24 - 8 (2 - \frac{2 (0)}{2}) + (2) + 0$

Этап 9.4.12.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.4.12.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$24 - 8 (2 - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1}) + (2) + 0$

Этап 9.4.12.2.2

Сократим общий множитель.

$24 - 8 (2 - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1}) + (2) + 0$

Этап 9.4.12.2.3

Перепишем это выражение.

$24 - 8 (2 - \frac{0}{1}) + (2) + 0$

Этап 9.4.12.2.4

Разделим $0$ на $1$ .

$24 - 8 (2 - 0) + (2) + 0$

Этап 9.4.13

Умножим $- 1$ на $0$ .

$24 - 8 (2 + 0) + (2) + 0$

Этап 9.4.14

Добавим $2$ и $0$ .

$24 - 8 \cdot 2 + (2) + 0$

Этап 9.4.15

Умножим $- 8$ на $2$ .

$24 - 16 + (2) + 0$

Этап 9.4.16

Вычтем $16$ из $24$ .

$8 + (2) + 0$

Этап 9.4.17

Добавим $2$ и $0$ .

$8 + 2$

Этап 9.4.18

Добавим $8$ и $2$ .

$10$

Этап 10