Математический анализ Примеры

$\int_{0}^{1} {(x^{2} + 1)}^{10} (2 x) d x$

Этап 1

Перенесем $2$ влево от ${(x^{2} + 1)}^{10}$ .

$\int_{0}^{1} 2 {(x^{2} + 1)}^{10} x d x$

Этап 2

Поскольку $2$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $2$ из-под знака интеграла.

$2 \int_{0}^{1} {(x^{2} + 1)}^{10} x d x$

Этап 3

Пусть $u = x^{2} + 1$ . Тогда $d u = 2 x d x$ , следовательно $\frac{1}{2} d u = x d x$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Пусть $u = x^{2} + 1$ . Найдем $\frac{d u}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Дифференцируем $x^{2} + 1$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

Этап 3.1.2

По правилу суммы производная $x^{2} + 1$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$

Этап 3.1.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [1]$

Этап 3.1.4

Поскольку $1$ является константой относительно $x$ , производная $1$ относительно $x$ равна $0$ .

$2 x + 0$

Этап 3.1.5

Добавим $2 x$ и $0$ .

$2 x$

Этап 3.2

Подставим нижнее предельное значение вместо $x$ в $u = x^{2} + 1$ .

$u_{lower} = 0^{2} + 1$

Этап 3.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$u_{lower} = 0 + 1$

Этап 3.3.2

Добавим $0$ и $1$ .

$u_{lower} = 1$

Этап 3.4

Подставим верхнее предельное значение вместо $x$ в $u = x^{2} + 1$ .

$u_{upper} = 1^{2} + 1$

Этап 3.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1

Единица в любой степени равна единице.

$u_{upper} = 1 + 1$

Этап 3.5.2

Добавим $1$ и $1$ .

$u_{upper} = 2$

Этап 3.6

Значения, найденные для $u_{lower}$ и $u_{upper}$ , будут использованы для вычисления данного определенного интеграла.

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = 2$

Этап 3.7

Переформулируем задачу, используя $u$ , $d u$ и новые пределы интегрирования.

$2 \int_{1}^{2} u^{10} \frac{1}{2} d u$

Этап 4

Объединим $u^{10}$ и $\frac{1}{2}$ .

$2 \int_{1}^{2} \frac{u^{10}}{2} d u$

Этап 5

Поскольку $\frac{1}{2}$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $\frac{1}{2}$ из-под знака интеграла.

$2 (\frac{1}{2} \int_{1}^{2} u^{10} d u)$

Этап 6

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$\frac{2}{2} \int_{1}^{2} u^{10} d u$

Этап 6.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2}{2} \int_{1}^{2} u^{10} d u$

Этап 6.2.2

Перепишем это выражение.

$1 \int_{1}^{2} u^{10} d u$

Этап 6.3

Умножим $\int_{1}^{2} u^{10} d u$ на $1$ .

$\int_{1}^{2} u^{10} d u$

Этап 7

По правилу степени интеграл $u^{10}$ по $u$ имеет вид $\frac{1}{11} u^{11}$ .

$\frac{1}{11} u^{11}]_{1}^{2}$

Этап 8

Подставим и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Найдем значение $\frac{1}{11} u^{11}$ в $2$ и в $1$ .

$(\frac{1}{11} \cdot 2^{11}) - \frac{1}{11} \cdot 1^{11}$

Этап 8.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1

Возведем $2$ в степень $11$ .

$\frac{1}{11} \cdot 2048 - \frac{1}{11} \cdot 1^{11}$

Этап 8.2.2

Объединим $\frac{1}{11}$ и $2048$ .

$\frac{2048}{11} - \frac{1}{11} \cdot 1^{11}$

Этап 8.2.3

Единица в любой степени равна единице.

$\frac{2048}{11} - \frac{1}{11} \cdot 1$

Этап 8.2.4

Умножим $- 1$ на $1$ .

$\frac{2048}{11} - \frac{1}{11}$

Этап 8.2.5

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{2048 - 1}{11}$

Этап 8.2.6

Вычтем $1$ из $2048$ .

$\frac{2047}{11}$

Этап 9

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$\frac{2047}{11}$

Десятичная форма:

$186.\overline{09}$

Форма смешанных чисел:

$186 \frac{1}{11}$

Этап 10