Математический анализ Примеры

$\int_{0}^{1} \frac{2}{2 x^{2} + 3 x + 1} d x$

Этап 1

Поскольку $2$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $2$ из-под знака интеграла.

$2 \int_{0}^{1} \frac{1}{2 x^{2} + 3 x + 1} d x$

Этап 2

Запишем дробь, используя разложение на элементарные дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Разложим дробь и умножим на общий знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Разложим на множители методом группировки

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1.1

Для многочлена вида $a x^{2} + b x + c$ представим средний член в виде суммы двух членов, произведение которых равно $a \cdot c = 2 \cdot 1 = 2$ , а сумма — $b = 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1.1.1

Вынесем множитель $3$ из $3 x$ .

$\frac{1}{2 x^{2} + 3 (x) + 1}$

Этап 2.1.1.1.2

Запишем $3$ как $1$ плюс $2$

$\frac{1}{2 x^{2} + (1 + 2) x + 1}$

Этап 2.1.1.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{1}{2 x^{2} + 1 x + 2 x + 1}$

Этап 2.1.1.1.4

Умножим $x$ на $1$ .

$\frac{1}{2 x^{2} + x + 2 x + 1}$

Этап 2.1.1.2

Вынесем наибольший общий делитель из каждой группы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1.2.1

Сгруппируем первые два члена и последние два члена.

$\frac{1}{(2 x^{2} + x) + 2 x + 1}$

Этап 2.1.1.2.2

Вынесем наибольший общий делитель (НОД) из каждой группы.

$\frac{1}{x (2 x + 1) + 1 (2 x + 1)}$

Этап 2.1.1.3

Разложим многочлен, вынеся наибольший общий делитель $2 x + 1$ .

$\frac{1}{(2 x + 1) (x + 1)}$

Этап 2.1.2

Для каждого множителя в знаменателе создадим новую дробь, используя множитель в качестве знаменателя, а неизвестное значение — в качестве числителя. Поскольку множитель в знаменателе линейный, поместим одну переменную на его место $A$ .

$\frac{A}{2 x + 1}$

Этап 2.1.3

$\frac{A}{2 x + 1} + \frac{B}{x + 1}$

Этап 2.1.4

Умножим каждую дробь в уравнении на знаменатель исходного выражения. В этом случае знаменатель равен $(2 x + 1) (x + 1)$ .

$\frac{1 (2 x + 1) (x + 1)}{(2 x + 1) (x + 1)} = \frac{(A) (2 x + 1) (x + 1)}{2 x + 1} + \frac{(B) (2 x + 1) (x + 1)}{x + 1}$

Этап 2.1.5

Сократим общий множитель $2 x + 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.5.1

Сократим общий множитель.

$\frac{1 (2 x + 1) (x + 1)}{(2 x + 1) (x + 1)} = \frac{(A) (2 x + 1) (x + 1)}{2 x + 1} + \frac{(B) (2 x + 1) (x + 1)}{x + 1}$

Этап 2.1.5.2

Перепишем это выражение.

$\frac{1 (x + 1)}{x + 1} = \frac{(A) (2 x + 1) (x + 1)}{2 x + 1} + \frac{(B) (2 x + 1) (x + 1)}{x + 1}$

Этап 2.1.6

Сократим общий множитель $x + 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.6.1

Сократим общий множитель.

$\frac{1 (x + 1)}{x + 1} = \frac{(A) (2 x + 1) (x + 1)}{2 x + 1} + \frac{(B) (2 x + 1) (x + 1)}{x + 1}$

Этап 2.1.6.2

Перепишем это выражение.

$1 = \frac{(A) (2 x + 1) (x + 1)}{2 x + 1} + \frac{(B) (2 x + 1) (x + 1)}{x + 1}$

Этап 2.1.7

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.7.1

Сократим общий множитель $2 x + 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.7.1.1

Сократим общий множитель.

$1 = \frac{A (2 x + 1) (x + 1)}{2 x + 1} + \frac{(B) (2 x + 1) (x + 1)}{x + 1}$

Этап 2.1.7.1.2

Разделим $(A) (x + 1)$ на $1$ .

$1 = (A) (x + 1) + \frac{(B) (2 x + 1) (x + 1)}{x + 1}$

Этап 2.1.7.2

Применим свойство дистрибутивности.

$1 = A x + A \cdot 1 + \frac{(B) (2 x + 1) (x + 1)}{x + 1}$

Этап 2.1.7.3

Умножим $A$ на $1$ .

$1 = A x + A + \frac{(B) (2 x + 1) (x + 1)}{x + 1}$

Этап 2.1.7.4

Сократим общий множитель $x + 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.7.4.1

Сократим общий множитель.

$1 = A x + A + \frac{(B) (2 x + 1) (x + 1)}{x + 1}$

Этап 2.1.7.4.2

Разделим $(B) (2 x + 1)$ на $1$ .

$1 = A x + A + (B) (2 x + 1)$

Этап 2.1.7.5

Применим свойство дистрибутивности.

$1 = A x + A + B (2 x) + B \cdot 1$

Этап 2.1.7.6

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$1 = A x + A + 2 B x + B \cdot 1$

Этап 2.1.7.7

Умножим $B$ на $1$ .

$1 = A x + A + 2 B x + B$

Этап 2.1.8

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.8.1

Перенесем $B$ .

$1 = A x + A + 2 x B + B$

Этап 2.1.8.2

Перенесем $A$ .

$1 = A x + 2 x B + A + B$

Этап 2.2

Составим уравнения для переменных элементарной дроби и используем их для создания системы уравнений.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Составим уравнение для переменных элементарной дроби, приравняв коэффициенты $x$ из каждой части уравнения. Чтобы уравнение было верным, эквивалентные коэффициенты в каждой части уравнения должны быть равны.

$0 = A + 2 B$

Этап 2.2.2

Составим уравнение для переменных элементарной дроби, приравняв коэффициенты членов, не содержащих $x$ . Чтобы уравнение было верным, эквивалентные коэффициенты в каждой части уравнения должны быть равны.

$1 = A + B$

Этап 2.2.3

Составим систему уравнений, чтобы найти коэффициенты элементарных дробей.

$0 = A + 2 B$

$1 = A + B$

$0 = A + 2 B$

$1 = A + B$

Этап 2.3

Решим систему уравнений.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Решим относительно $A$ в $0 = A + 2 B$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.1

Перепишем уравнение в виде $A + 2 B = 0$ .

$A + 2 B = 0$

$1 = A + B$

Этап 2.3.1.2

Вычтем $2 B$ из обеих частей уравнения.

$A = - 2 B$

$1 = A + B$

$A = - 2 B$

$1 = A + B$

Этап 2.3.2

Заменим все вхождения $A$ на $- 2 B$ во всех уравнениях.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1

Заменим все вхождения $A$ в $1 = A + B$ на $- 2 B$ .

$1 = (- 2 B) + B$

$A = - 2 B$

Этап 2.3.2.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.2.1

Добавим $- 2 B$ и $B$ .

$1 = - B$

$A = - 2 B$

$1 = - B$

$A = - 2 B$

$1 = - B$

$A = - 2 B$

Этап 2.3.3

Решим относительно $B$ в $1 = - B$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.3.1

Перепишем уравнение в виде $- B = 1$ .

$- B = 1$

$A = - 2 B$

Этап 2.3.3.2

Разделим каждый член $- B = 1$ на $- 1$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.3.2.1

Разделим каждый член $- B = 1$ на $- 1$ .

$\frac{- B}{- 1} = \frac{1}{- 1}$

$A = - 2 B$

Этап 2.3.3.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.3.2.2.1

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$\frac{B}{1} = \frac{1}{- 1}$

$A = - 2 B$

Этап 2.3.3.2.2.2

Разделим $B$ на $1$ .

$B = \frac{1}{- 1}$

$A = - 2 B$

$B = \frac{1}{- 1}$

$A = - 2 B$

Этап 2.3.3.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.3.2.3.1

Разделим $1$ на $- 1$ .

$B = - 1$

$A = - 2 B$

$B = - 1$

$A = - 2 B$

$B = - 1$

$A = - 2 B$

$B = - 1$

$A = - 2 B$

Этап 2.3.4

Заменим все вхождения $B$ на $- 1$ во всех уравнениях.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.4.1

Заменим все вхождения $B$ в $A = - 2 B$ на $- 1$ .

$A = - 2 \cdot - 1$

$B = - 1$

Этап 2.3.4.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.4.2.1

Умножим $- 2$ на $- 1$ .

$A = 2$

$B = - 1$

$A = 2$

$B = - 1$

$A = 2$

$B = - 1$

Этап 2.3.5

Перечислим все решения.

$A = 2, B = - 1$

Этап 2.4

Заменим каждый коэффициент элементарной дроби в $\frac{A}{2 x + 1} + \frac{B}{x + 1}$ значениями, найденными для $A$ и $B$ .

$\frac{2}{2 x + 1} + \frac{- 1}{x + 1}$

Этап 2.5

Вынесем знак минуса перед дробью.

$2 \int_{0}^{1} \frac{2}{2 x + 1} - \frac{1}{x + 1} d x$

Этап 3

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$2 (\int_{0}^{1} \frac{2}{2 x + 1} d x + \int_{0}^{1} - \frac{1}{x + 1} d x)$

Этап 4

Поскольку $2$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $2$ из-под знака интеграла.

$2 (2 \int_{0}^{1} \frac{1}{2 x + 1} d x + \int_{0}^{1} - \frac{1}{x + 1} d x)$

Этап 5

Пусть $u_{1} = 2 x + 1$ . Тогда $d u_{1} = 2 d x$ , следовательно $\frac{1}{2} d u_{1} = d x$ . Перепишем, используя $u_{1}$ и $d$ $u_{1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Пусть $u_{1} = 2 x + 1$ . Найдем $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1

Дифференцируем $2 x + 1$ .

$\frac{d}{d x} [2 x + 1]$

Этап 5.1.2

По правилу суммы производная $2 x + 1$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1]$

Этап 5.1.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.3.1

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 x$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

Этап 5.1.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1]$

Этап 5.1.3.3

Умножим $2$ на $1$ .

$2 + \frac{d}{d x} [1]$

Этап 5.1.4

Продифференцируем, используя правило константы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.4.1

Поскольку $1$ является константой относительно $x$ , производная $1$ относительно $x$ равна $0$ .

$2 + 0$

Этап 5.1.4.2

Добавим $2$ и $0$ .

$2$

Этап 5.2

Подставим нижнее предельное значение вместо $x$ в $u_{1} = 2 x + 1$ .

$u_{lower} = 2 \cdot 0 + 1$

Этап 5.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Умножим $2$ на $0$ .

$u_{lower} = 0 + 1$

Этап 5.3.2

Добавим $0$ и $1$ .

$u_{lower} = 1$

Этап 5.4

Подставим верхнее предельное значение вместо $x$ в $u_{1} = 2 x + 1$ .

$u_{upper} = 2 \cdot 1 + 1$

Этап 5.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.1

Умножим $2$ на $1$ .

$u_{upper} = 2 + 1$

Этап 5.5.2

Добавим $2$ и $1$ .

$u_{upper} = 3$

Этап 5.6

Значения, найденные для $u_{lower}$ и $u_{upper}$ , будут использованы для вычисления данного определенного интеграла.

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = 3$

Этап 5.7

Переформулируем задачу, используя $u_{1}$ , $d u_{1}$ и новые пределы интегрирования.

$2 (2 \int_{1}^{3} \frac{1}{u_{1}} \cdot \frac{1}{2} d u_{1} + \int_{0}^{1} - \frac{1}{x + 1} d x)$

Этап 6

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Умножим $\frac{1}{u_{1}}$ на $\frac{1}{2}$ .

$2 (2 \int_{1}^{3} \frac{1}{u_{1} \cdot 2} d u_{1} + \int_{0}^{1} - \frac{1}{x + 1} d x)$

Этап 6.2

Перенесем $2$ влево от $u_{1}$ .

$2 (2 \int_{1}^{3} \frac{1}{2 u_{1}} d u_{1} + \int_{0}^{1} - \frac{1}{x + 1} d x)$

Этап 7

Поскольку $\frac{1}{2}$ — константа по отношению к $u_{1}$ , вынесем $\frac{1}{2}$ из-под знака интеграла.

$2 (2 (\frac{1}{2} \int_{1}^{3} \frac{1}{u_{1}} d u_{1}) + \int_{0}^{1} - \frac{1}{x + 1} d x)$

Этап 8

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$2 (\frac{2}{2} \int_{1}^{3} \frac{1}{u_{1}} d u_{1} + \int_{0}^{1} - \frac{1}{x + 1} d x)$

Этап 8.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1

Сократим общий множитель.

$2 (\frac{2}{2} \int_{1}^{3} \frac{1}{u_{1}} d u_{1} + \int_{0}^{1} - \frac{1}{x + 1} d x)$

Этап 8.2.2

Перепишем это выражение.

$2 (1 \int_{1}^{3} \frac{1}{u_{1}} d u_{1} + \int_{0}^{1} - \frac{1}{x + 1} d x)$

Этап 8.3

Умножим $\int_{1}^{3} \frac{1}{u_{1}} d u_{1}$ на $1$ .

$2 (\int_{1}^{3} \frac{1}{u_{1}} d u_{1} + \int_{0}^{1} - \frac{1}{x + 1} d x)$

Этап 9

Интеграл $\frac{1}{u_{1}}$ по $u_{1}$ имеет вид $\ln (| u_{1} |)$ .

$2 (\ln (| u_{1} |)]_{1}^{3} + \int_{0}^{1} - \frac{1}{x + 1} d x)$

Этап 10

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$2 (\ln (| u_{1} |)]_{1}^{3} - \int_{0}^{1} \frac{1}{x + 1} d x)$

Этап 11

Пусть $u_{2} = x + 1$ . Тогда $d u_{2} = d x$ . Перепишем, используя $u_{2}$ и $d$ $u_{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Пусть $u_{2} = x + 1$ . Найдем $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1.1

Дифференцируем $x + 1$ .

$\frac{d}{d x} [x + 1]$

Этап 11.1.2

По правилу суммы производная $x + 1$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

Этап 11.1.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [1]$

Этап 11.1.4

Поскольку $1$ является константой относительно $x$ , производная $1$ относительно $x$ равна $0$ .

$1 + 0$

Этап 11.1.5

Добавим $1$ и $0$ .

$1$

Этап 11.2

Подставим нижнее предельное значение вместо $x$ в $u_{2} = x + 1$ .

$u_{lower} = 0 + 1$

Этап 11.3

Добавим $0$ и $1$ .

$u_{lower} = 1$

Этап 11.4

Подставим верхнее предельное значение вместо $x$ в $u_{2} = x + 1$ .

$u_{upper} = 1 + 1$

Этап 11.5

Добавим $1$ и $1$ .

$u_{upper} = 2$

Этап 11.6

Значения, найденные для $u_{lower}$ и $u_{upper}$ , будут использованы для вычисления данного определенного интеграла.

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = 2$

Этап 11.7

Переформулируем задачу, используя $u_{2}$ , $d u_{2}$ и новые пределы интегрирования.

$2 (\ln (| u_{1} |)]_{1}^{3} - \int_{1}^{2} \frac{1}{u_{2}} d u_{2})$

Этап 12

Интеграл $\frac{1}{u_{2}}$ по $u_{2}$ имеет вид $\ln (| u_{2} |)$ .

$2 (\ln (| u_{1} |)]_{1}^{3} - (\ln (| u_{2} |)]_{1}^{2}))$

Этап 13

Подставим и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1

Найдем значение $\ln (| u_{1} |)$ в $3$ и в $1$ .

$2 ((\ln (| 3 |)) - \ln (| 1 |) - (\ln (| u_{2} |)]_{1}^{2}))$

Этап 13.2

Найдем значение $\ln (| u_{2} |)$ в $2$ и в $1$ .

$2 ((\ln (| 3 |)) - \ln (| 1 |) - ((\ln (| 2 |)) - \ln (| 1 |)))$

Этап 13.3

Избавимся от скобок.

$2 (\ln (| 3 |) - \ln (| 1 |) - (\ln (| 2 |) - \ln (| 1 |)))$

Этап 14

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.1

Используем формулу разности логарифмов с одинаковым основанием: $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$2 (\ln (\frac{| 3 |}{| 1 |}) - (\ln (| 2 |) - \ln (| 1 |)))$

Этап 14.2

Используем формулу разности логарифмов с одинаковым основанием: $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$2 (\ln (\frac{| 3 |}{| 1 |}) - \ln (\frac{| 2 |}{| 1 |}))$

Этап 14.3

Используем формулу разности логарифмов с одинаковым основанием: $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$2 \ln (\frac{\frac{| 3 |}{| 1 |}}{\frac{| 2 |}{| 1 |}})$

Этап 14.4

Перепишем $\frac{\frac{| 3 |}{| 1 |}}{\frac{| 2 |}{| 1 |}}$ в виде произведения.

$2 \ln (\frac{| 3 |}{| 1 |} \cdot \frac{1}{\frac{| 2 |}{| 1 |}})$

Этап 14.5

Умножим на обратную дробь, чтобы разделить на $\frac{| 2 |}{| 1 |}$ .

$2 \ln (\frac{| 3 |}{| 1 |} (1 \frac{| 1 |}{| 2 |}))$

Этап 14.6

Умножим $\frac{| 1 |}{| 2 |}$ на $1$ .

$2 \ln (\frac{| 3 |}{| 1 |} \cdot \frac{| 1 |}{| 2 |})$

Этап 14.7

Умножим $\frac{| 3 |}{| 1 |}$ на $\frac{| 1 |}{| 2 |}$ .

$2 \ln (\frac{| 3 | | 1 |}{| 1 | | 2 |})$

Этап 14.8

Для перемножения модулей следует перемножить члены внутри каждого модуля.

$2 \ln (\frac{| 3 \cdot 1 |}{| 1 | | 2 |})$

Этап 14.9

Умножим $3$ на $1$ .

$2 \ln (\frac{| 3 |}{| 1 | | 2 |})$

Этап 14.10

Для перемножения модулей следует перемножить члены внутри каждого модуля.

$2 \ln (\frac{| 3 |}{| 1 \cdot 2 |})$

Этап 14.11

Умножим $2$ на $1$ .

$2 \ln (\frac{| 3 |}{| 2 |})$

Этап 15

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.1

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $3$ равно $3$ .

$2 \ln (\frac{3}{| 2 |})$

Этап 15.2

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $2$ равно $2$ .

$2 \ln (\frac{3}{2})$

Этап 16

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$2 \ln (\frac{3}{2})$

Десятичная форма:

$0.81093021 \dots$

Этап 17