Математический анализ Примеры

$\int_{0}^{1} \frac{x^{3}}{x^{4} - 1} d x$

Этап 1

Пусть $u = x^{4} - 1$ . Тогда $d u = 4 x^{3} d x$ , следовательно $\frac{1}{4} d u = x^{3} d x$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Пусть $u = x^{4} - 1$ . Найдем $\frac{d u}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Дифференцируем $x^{4} - 1$ .

$\frac{d}{d x} [x^{4} - 1]$

Этап 1.1.2

По правилу суммы производная $x^{4} - 1$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Этап 1.1.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 4$ .

$4 x^{3} + \frac{d}{d x} [- 1]$

Этап 1.1.4

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- 1$ относительно $x$ равна $0$ .

$4 x^{3} + 0$

Этап 1.1.5

Добавим $4 x^{3}$ и $0$ .

$4 x^{3}$

Этап 1.2

Подставим нижнее предельное значение вместо $x$ в $u = x^{4} - 1$ .

$u_{lower} = 0^{4} - 1$

Этап 1.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$u_{lower} = 0 - 1$

Этап 1.3.2

Вычтем $1$ из $0$ .

$u_{lower} = - 1$

Этап 1.4

Подставим верхнее предельное значение вместо $x$ в $u = x^{4} - 1$ .

$u_{upper} = 1^{4} - 1$

Этап 1.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.1

Единица в любой степени равна единице.

$u_{upper} = 1 - 1$

Этап 1.5.2

Вычтем $1$ из $1$ .

$u_{upper} = 0$

Этап 1.6

Значения, найденные для $u_{lower}$ и $u_{upper}$ , будут использованы для вычисления данного определенного интеграла.

$u_{lower} = - 1$

$u_{upper} = 0$

Этап 1.7

Переформулируем задачу, используя $u$ , $d u$ и новые пределы интегрирования.

$\int_{- 1}^{0} \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{4} d u$

Этап 2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Умножим $\frac{1}{u}$ на $\frac{1}{4}$ .

$\int_{- 1}^{0} \frac{1}{u \cdot 4} d u$

Этап 2.2

Перенесем $4$ влево от $u$ .

$\int_{- 1}^{0} \frac{1}{4 u} d u$

Этап 3

Поскольку $\frac{1}{4}$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $\frac{1}{4}$ из-под знака интеграла.

$\frac{1}{4} \int_{- 1}^{0} \frac{1}{u} d u$

Этап 4

Интеграл $\frac{1}{u}$ по $u$ имеет вид $\ln (| u |)$ .

$\frac{1}{4} \ln (| u |)]_{- 1}^{0}$

Этап 5

Найдем значение $\ln (| u |)$ в $0$ и в $- 1$ .

$\frac{1}{4} (\ln (| 0 |) - \ln (| - 1 |))$

Этап 6

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Используем формулу разности логарифмов с одинаковым основанием: $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\frac{1}{4} \ln (\frac{| 0 |}{| - 1 |})$

Этап 6.2

Объединим $\frac{1}{4}$ и $\ln (\frac{| 0 |}{| - 1 |})$ .

$\frac{\ln (\frac{| 0 |}{| - 1 |})}{4}$

Этап 7

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $0$ равно $0$ .

$\frac{\ln (\frac{0}{| - 1 |})}{4}$

Этап 7.2

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $- 1$ и $0$ равно $1$ .

$\frac{\ln (\frac{0}{1})}{4}$

Этап 7.3

Разделим $0$ на $1$ .

$\frac{\ln (0)}{4}$

Этап 7.4

Натуральный логарифм нуля не определен.

Неопределенные

$\frac{\ln (0)}{4}$

Этап 8

Натуральный логарифм нуля не определен.

Неопределенные