Математический анализ Примеры

$\int_{- 1}^{1} x^{2} + 2 d x$

Этап 1

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int_{- 1}^{1} x^{2} d x + \int_{- 1}^{1} 2 d x$

Этап 2

По правилу степени интеграл $x^{2}$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$\frac{1}{3} x^{3}]_{- 1}^{1} + \int_{- 1}^{1} 2 d x$

Этап 3

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$\frac{1}{3} x^{3}]_{- 1}^{1} + 2 x]_{- 1}^{1}$

Этап 4

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Объединим $\frac{1}{3} x^{3}]_{- 1}^{1}$ и $2 x]_{- 1}^{1}$ .

$\frac{1}{3} x^{3} + 2 x]_{- 1}^{1}$

Этап 4.2

Подставим и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Найдем значение $\frac{1}{3} x^{3} + 2 x$ в $1$ и в $- 1$ .

$(\frac{1}{3} \cdot 1^{3} + 2 \cdot 1) - (\frac{1}{3} {(- 1)}^{3} + 2 \cdot - 1)$

Этап 4.2.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1

Единица в любой степени равна единице.

$\frac{1}{3} \cdot 1 + 2 \cdot 1 - (\frac{1}{3} {(- 1)}^{3} + 2 \cdot - 1)$

Этап 4.2.2.2

Умножим $\frac{1}{3}$ на $1$ .

$\frac{1}{3} + 2 \cdot 1 - (\frac{1}{3} {(- 1)}^{3} + 2 \cdot - 1)$

Этап 4.2.2.3

Умножим $2$ на $1$ .

$\frac{1}{3} + 2 - (\frac{1}{3} {(- 1)}^{3} + 2 \cdot - 1)$

Этап 4.2.2.4

Чтобы записать $2$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

$\frac{1}{3} + 2 \cdot \frac{3}{3} - (\frac{1}{3} {(- 1)}^{3} + 2 \cdot - 1)$

Этап 4.2.2.5

Объединим $2$ и $\frac{3}{3}$ .

$\frac{1}{3} + \frac{2 \cdot 3}{3} - (\frac{1}{3} {(- 1)}^{3} + 2 \cdot - 1)$

Этап 4.2.2.6

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{1 + 2 \cdot 3}{3} - (\frac{1}{3} {(- 1)}^{3} + 2 \cdot - 1)$

Этап 4.2.2.7

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.7.1

Умножим $2$ на $3$ .

$\frac{1 + 6}{3} - (\frac{1}{3} {(- 1)}^{3} + 2 \cdot - 1)$

Этап 4.2.2.7.2

Добавим $1$ и $6$ .

$\frac{7}{3} - (\frac{1}{3} {(- 1)}^{3} + 2 \cdot - 1)$

Этап 4.2.2.8

Возведем $- 1$ в степень $3$ .

$\frac{7}{3} - (\frac{1}{3} \cdot - 1 + 2 \cdot - 1)$

Этап 4.2.2.9

Объединим $\frac{1}{3}$ и $- 1$ .

$\frac{7}{3} - (\frac{- 1}{3} + 2 \cdot - 1)$

Этап 4.2.2.10

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{7}{3} - (- \frac{1}{3} + 2 \cdot - 1)$

Этап 4.2.2.11

Умножим $2$ на $- 1$ .

$\frac{7}{3} - (- \frac{1}{3} - 2)$

Этап 4.2.2.12

Чтобы записать $- 2$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

$\frac{7}{3} - (- \frac{1}{3} - 2 \cdot \frac{3}{3})$

Этап 4.2.2.13

Объединим $- 2$ и $\frac{3}{3}$ .

$\frac{7}{3} - (- \frac{1}{3} + \frac{- 2 \cdot 3}{3})$

Этап 4.2.2.14

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{7}{3} - \frac{- 1 - 2 \cdot 3}{3}$

Этап 4.2.2.15

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.15.1

Умножим $- 2$ на $3$ .

$\frac{7}{3} - \frac{- 1 - 6}{3}$

Этап 4.2.2.15.2

Вычтем $6$ из $- 1$ .

$\frac{7}{3} - \frac{- 7}{3}$

Этап 4.2.2.16

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{7}{3} - - \frac{7}{3}$

Этап 4.2.2.17

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$\frac{7}{3} + 1 (\frac{7}{3})$

Этап 4.2.2.18

Умножим $\frac{7}{3}$ на $1$ .

$\frac{7}{3} + \frac{7}{3}$

Этап 4.2.2.19

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{7 + 7}{3}$

Этап 4.2.2.20

Добавим $7$ и $7$ .

$\frac{14}{3}$

Этап 5

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$\frac{14}{3}$

Десятичная форма:

$4.\overline{6}$

Форма смешанных чисел:

$4 \frac{2}{3}$

Этап 6