Математический анализ Примеры

$\int_{0}^{1} v^{2} \cos (v^{3}) d v$

Этап 1

Пусть $u = v^{3}$ . Тогда $d u = 3 v^{2} d v$ , следовательно $\frac{1}{3} d u = v^{2} d v$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Пусть $u = v^{3}$ . Найдем $\frac{d u}{d v}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Дифференцируем $v^{3}$ .

$\frac{d}{d v} [v^{3}]$

Этап 1.1.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d v} [v^{n}]$ имеет вид $n v^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$3 v^{2}$

Этап 1.2

Подставим нижнее предельное значение вместо $v$ в $u = v^{3}$ .

$u_{lower} = 0^{3}$

Этап 1.3

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$u_{lower} = 0$

Этап 1.4

Подставим верхнее предельное значение вместо $v$ в $u = v^{3}$ .

$u_{upper} = 1^{3}$

Этап 1.5

Единица в любой степени равна единице.

$u_{upper} = 1$

Этап 1.6

Значения, найденные для $u_{lower}$ и $u_{upper}$ , будут использованы для вычисления данного определенного интеграла.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = 1$

Этап 1.7

Переформулируем задачу, используя $u$ , $d u$ и новые пределы интегрирования.

$\int_{0}^{1} \cos (u) \frac{1}{3} d u$

Этап 2

Объединим $\cos (u)$ и $\frac{1}{3}$ .

$\int_{0}^{1} \frac{\cos (u)}{3} d u$

Этап 3

Поскольку $\frac{1}{3}$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $\frac{1}{3}$ из-под знака интеграла.

$\frac{1}{3} \int_{0}^{1} \cos (u) d u$

Этап 4

Интеграл $\cos (u)$ по $u$ имеет вид $\sin (u)$ .

$\frac{1}{3} \sin (u)]_{0}^{1}$

Этап 5

Найдем значение $\sin (u)$ в $1$ и в $0$ .

$\frac{1}{3} (\sin (1) - \sin (0))$

Этап 6

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Точное значение $\sin (0)$ : $0$ .

$\frac{1}{3} (\sin (1) - 0)$

Этап 6.2

Умножим $- 1$ на $0$ .

$\frac{1}{3} (\sin (1) + 0)$

Этап 6.3

Добавим $\sin (1)$ и $0$ .

$\frac{1}{3} \sin (1)$

Этап 6.4

Объединим $\frac{1}{3}$ и $\sin (1)$ .

$\frac{\sin (1)}{3}$

Этап 7

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Найдем значение $\sin (1)$ .

$\frac{0.84147098}{3}$

Этап 7.2

Разделим $0.84147098$ на $3$ .

$0.28049032$