Математический анализ Примеры

$\int_{0}^{1} 5 x^{2} - 4 x + 8 d x$

Этап 1

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int_{0}^{1} 5 x^{2} d x + \int_{0}^{1} - 4 x d x + \int_{0}^{1} 8 d x$

Этап 2

Поскольку $5$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $5$ из-под знака интеграла.

$5 \int_{0}^{1} x^{2} d x + \int_{0}^{1} - 4 x d x + \int_{0}^{1} 8 d x$

Этап 3

По правилу степени интеграл $x^{2}$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$5 (\frac{1}{3} x^{3}]_{0}^{1}) + \int_{0}^{1} - 4 x d x + \int_{0}^{1} 8 d x$

Этап 4

Объединим $\frac{1}{3}$ и $x^{3}$ .

$5 (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{1}) + \int_{0}^{1} - 4 x d x + \int_{0}^{1} 8 d x$

Этап 5

Поскольку $- 4$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- 4$ из-под знака интеграла.

$5 (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{1}) - 4 \int_{0}^{1} x d x + \int_{0}^{1} 8 d x$

Этап 6

По правилу степени интеграл $x$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$5 (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{1}) - 4 (\frac{1}{2} x^{2}]_{0}^{1}) + \int_{0}^{1} 8 d x$

Этап 7

Объединим $\frac{1}{2}$ и $x^{2}$ .

$5 (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{1}) - 4 (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{1}) + \int_{0}^{1} 8 d x$

Этап 8

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$5 (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{1}) - 4 (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{1}) + 8 x]_{0}^{1}$

Этап 9

Подставим и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Найдем значение $\frac{x^{3}}{3}$ в $1$ и в $0$ .

$5 ((\frac{1^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3}) - 4 (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{1}) + 8 x]_{0}^{1}$

Этап 9.2

Найдем значение $\frac{x^{2}}{2}$ в $1$ и в $0$ .

$5 (\frac{1^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) - 4 (\frac{1^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}) + 8 x]_{0}^{1}$

Этап 9.3

Найдем значение $8 x$ в $1$ и в $0$ .

$5 (\frac{1^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) - 4 (\frac{1^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}) + (8 \cdot 1) - 8 \cdot 0$

Этап 9.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.4.1

Единица в любой степени равна единице.

$5 (\frac{1}{3} - \frac{0^{3}}{3}) - 4 (\frac{1^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}) + (8 \cdot 1) - 8 \cdot 0$

Этап 9.4.2

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$5 (\frac{1}{3} - \frac{0}{3}) - 4 (\frac{1^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}) + (8 \cdot 1) - 8 \cdot 0$

Этап 9.4.3

Сократим общий множитель $0$ и $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.4.3.1

Вынесем множитель $3$ из $0$ .

$5 (\frac{1}{3} - \frac{3 (0)}{3}) - 4 (\frac{1^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}) + (8 \cdot 1) - 8 \cdot 0$

Этап 9.4.3.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.4.3.2.1

Вынесем множитель $3$ из $3$ .

$5 (\frac{1}{3} - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1}) - 4 (\frac{1^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}) + (8 \cdot 1) - 8 \cdot 0$

Этап 9.4.3.2.2

Сократим общий множитель.

$5 (\frac{1}{3} - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1}) - 4 (\frac{1^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}) + (8 \cdot 1) - 8 \cdot 0$

Этап 9.4.3.2.3

Перепишем это выражение.

$5 (\frac{1}{3} - \frac{0}{1}) - 4 (\frac{1^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}) + (8 \cdot 1) - 8 \cdot 0$

Этап 9.4.3.2.4

Разделим $0$ на $1$ .

$5 (\frac{1}{3} - 0) - 4 (\frac{1^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}) + (8 \cdot 1) - 8 \cdot 0$

Этап 9.4.4

Умножим $- 1$ на $0$ .

$5 (\frac{1}{3} + 0) - 4 (\frac{1^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}) + (8 \cdot 1) - 8 \cdot 0$

Этап 9.4.5

Добавим $\frac{1}{3}$ и $0$ .

$5 (\frac{1}{3}) - 4 (\frac{1^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}) + (8 \cdot 1) - 8 \cdot 0$

Этап 9.4.6

Объединим $5$ и $\frac{1}{3}$ .

$\frac{5}{3} - 4 (\frac{1^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}) + (8 \cdot 1) - 8 \cdot 0$

Этап 9.4.7

Единица в любой степени равна единице.

$\frac{5}{3} - 4 (\frac{1}{2} - \frac{0^{2}}{2}) + (8 \cdot 1) - 8 \cdot 0$

Этап 9.4.8

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$\frac{5}{3} - 4 (\frac{1}{2} - \frac{0}{2}) + (8 \cdot 1) - 8 \cdot 0$

Этап 9.4.9

Сократим общий множитель $0$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.4.9.1

Вынесем множитель $2$ из $0$ .

$\frac{5}{3} - 4 (\frac{1}{2} - \frac{2 (0)}{2}) + (8 \cdot 1) - 8 \cdot 0$

Этап 9.4.9.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.4.9.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$\frac{5}{3} - 4 (\frac{1}{2} - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1}) + (8 \cdot 1) - 8 \cdot 0$

Этап 9.4.9.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{5}{3} - 4 (\frac{1}{2} - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1}) + (8 \cdot 1) - 8 \cdot 0$

Этап 9.4.9.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{5}{3} - 4 (\frac{1}{2} - \frac{0}{1}) + (8 \cdot 1) - 8 \cdot 0$

Этап 9.4.9.2.4

Разделим $0$ на $1$ .

$\frac{5}{3} - 4 (\frac{1}{2} - 0) + (8 \cdot 1) - 8 \cdot 0$

Этап 9.4.10

Умножим $- 1$ на $0$ .

$\frac{5}{3} - 4 (\frac{1}{2} + 0) + (8 \cdot 1) - 8 \cdot 0$

Этап 9.4.11

Добавим $\frac{1}{2}$ и $0$ .

$\frac{5}{3} - 4 (\frac{1}{2}) + (8 \cdot 1) - 8 \cdot 0$

Этап 9.4.12

Объединим $- 4$ и $\frac{1}{2}$ .

$\frac{5}{3} + \frac{- 4}{2} + (8 \cdot 1) - 8 \cdot 0$

Этап 9.4.13

Сократим общий множитель $- 4$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.4.13.1

Вынесем множитель $2$ из $- 4$ .

$\frac{5}{3} + \frac{2 \cdot - 2}{2} + (8 \cdot 1) - 8 \cdot 0$

Этап 9.4.13.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.4.13.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$\frac{5}{3} + \frac{2 \cdot - 2}{2 (1)} + (8 \cdot 1) - 8 \cdot 0$

Этап 9.4.13.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{5}{3} + \frac{2 \cdot - 2}{2 \cdot 1} + (8 \cdot 1) - 8 \cdot 0$

Этап 9.4.13.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{5}{3} + \frac{- 2}{1} + (8 \cdot 1) - 8 \cdot 0$

Этап 9.4.13.2.4

Разделим $- 2$ на $1$ .

$\frac{5}{3} - 2 + (8 \cdot 1) - 8 \cdot 0$

Этап 9.4.14

Чтобы записать $- 2$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

$\frac{5}{3} - 2 \cdot \frac{3}{3} + (8 \cdot 1) - 8 \cdot 0$

Этап 9.4.15

Объединим $- 2$ и $\frac{3}{3}$ .

$\frac{5}{3} + \frac{- 2 \cdot 3}{3} + (8 \cdot 1) - 8 \cdot 0$

Этап 9.4.16

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{5 - 2 \cdot 3}{3} + (8 \cdot 1) - 8 \cdot 0$

Этап 9.4.17

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.4.17.1

Умножим $- 2$ на $3$ .

$\frac{5 - 6}{3} + (8 \cdot 1) - 8 \cdot 0$

Этап 9.4.17.2

Вычтем $6$ из $5$ .

$\frac{- 1}{3} + (8 \cdot 1) - 8 \cdot 0$

Этап 9.4.18

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{1}{3} + (8 \cdot 1) - 8 \cdot 0$

Этап 9.4.19

Умножим $8$ на $1$ .

$- \frac{1}{3} + 8 - 8 \cdot 0$

Этап 9.4.20

Умножим $- 8$ на $0$ .

$- \frac{1}{3} + 8 + 0$

Этап 9.4.21

Добавим $8$ и $0$ .

$- \frac{1}{3} + 8$

Этап 9.4.22

Чтобы записать $8$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{1}{3} + 8 \cdot \frac{3}{3}$

Этап 9.4.23

Объединим $8$ и $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{1}{3} + \frac{8 \cdot 3}{3}$

Этап 9.4.24

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{- 1 + 8 \cdot 3}{3}$

Этап 9.4.25

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.4.25.1

Умножим $8$ на $3$ .

$\frac{- 1 + 24}{3}$

Этап 9.4.25.2

Добавим $- 1$ и $24$ .

$\frac{23}{3}$

Этап 10

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$\frac{23}{3}$

Десятичная форма:

$7.\overline{6}$

Форма смешанных чисел:

$7 \frac{2}{3}$

Этап 11