Математический анализ Примеры

$\int_{0}^{\sqrt{5}} \frac{x}{\sqrt{x^{2} + 4}} d x$

Этап 1

Пусть $u = x^{2} + 4$ . Тогда $d u = 2 x d x$ , следовательно $\frac{1}{2} d u = x d x$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Пусть $u = x^{2} + 4$ . Найдем $\frac{d u}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Дифференцируем $x^{2} + 4$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} + 4]$

Этап 1.1.2

По правилу суммы производная $x^{2} + 4$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [4]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [4]$

Этап 1.1.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [4]$

Этап 1.1.4

Поскольку $4$ является константой относительно $x$ , производная $4$ относительно $x$ равна $0$ .

$2 x + 0$

Этап 1.1.5

Добавим $2 x$ и $0$ .

$2 x$

Этап 1.2

Подставим нижнее предельное значение вместо $x$ в $u = x^{2} + 4$ .

$u_{lower} = 0^{2} + 4$

Этап 1.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$u_{lower} = 0 + 4$

Этап 1.3.2

Добавим $0$ и $4$ .

$u_{lower} = 4$

Этап 1.4

Подставим верхнее предельное значение вместо $x$ в $u = x^{2} + 4$ .

$u_{upper} = {\sqrt{5}}^{2} + 4$

Этап 1.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.1

Перепишем ${\sqrt{5}}^{2}$ в виде $5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.1.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{5}$ в виде $5^{\frac{1}{2}}$ .

$u_{upper} = {(5^{\frac{1}{2}})}^{2} + 4$

Этап 1.5.1.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$u_{upper} = 5^{\frac{1}{2} \cdot 2} + 4$

Этап 1.5.1.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$u_{upper} = 5^{\frac{2}{2}} + 4$

Этап 1.5.1.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.1.4.1

Сократим общий множитель.

$u_{upper} = 5^{\frac{2}{2}} + 4$

Этап 1.5.1.4.2

Перепишем это выражение.

$u_{upper} = 5^{1} + 4$

Этап 1.5.1.5

Найдем экспоненту.

$u_{upper} = 5 + 4$

Этап 1.5.2

Добавим $5$ и $4$ .

$u_{upper} = 9$

Этап 1.6

Значения, найденные для $u_{lower}$ и $u_{upper}$ , будут использованы для вычисления данного определенного интеграла.

$u_{lower} = 4$

$u_{upper} = 9$

Этап 1.7

Переформулируем задачу, используя $u$ , $d u$ и новые пределы интегрирования.

$\int_{4}^{9} \frac{1}{\sqrt{u}} \cdot \frac{1}{2} d u$

Этап 2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Умножим $\frac{1}{\sqrt{u}}$ на $\frac{1}{2}$ .

$\int_{4}^{9} \frac{1}{\sqrt{u} \cdot 2} d u$

Этап 2.2

Перенесем $2$ влево от $\sqrt{u}$ .

$\int_{4}^{9} \frac{1}{2 \sqrt{u}} d u$

Этап 3

Поскольку $\frac{1}{2}$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $\frac{1}{2}$ из-под знака интеграла.

$\frac{1}{2} \int_{4}^{9} \frac{1}{\sqrt{u}} d u$

Этап 4

Применим основные правила для показателей степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{u}$ в виде $u^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{2} \int_{4}^{9} \frac{1}{u^{\frac{1}{2}}} d u$

Этап 4.2

Вынесем $u^{\frac{1}{2}}$ из знаменателя, возведя в $- 1$ степень.

$\frac{1}{2} \int_{4}^{9} {(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d u$

Этап 4.3

Перемножим экспоненты в ${(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{2} \int_{4}^{9} u^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d u$

Этап 4.3.2

Объединим $\frac{1}{2}$ и $- 1$ .

$\frac{1}{2} \int_{4}^{9} u^{\frac{- 1}{2}} d u$

Этап 4.3.3

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{1}{2} \int_{4}^{9} u^{- \frac{1}{2}} d u$

Этап 5

По правилу степени интеграл $u^{- \frac{1}{2}}$ по $u$ имеет вид $2 u^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{2} 2 u^{\frac{1}{2}}]_{4}^{9}$

Этап 6

Подставим и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Найдем значение $2 u^{\frac{1}{2}}$ в $9$ и в $4$ .

$\frac{1}{2} ((2 \cdot 9^{\frac{1}{2}}) - 2 \cdot 4^{\frac{1}{2}})$

Этап 6.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Перепишем $9$ в виде $3^{2}$ .

$\frac{1}{2} (2 \cdot {(3^{2})}^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 4^{\frac{1}{2}})$

Этап 6.2.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{2} (2 \cdot 3^{2 (\frac{1}{2})} - 2 \cdot 4^{\frac{1}{2}})$

Этап 6.2.3

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.3.1

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{2} (2 \cdot 3^{2 (\frac{1}{2})} - 2 \cdot 4^{\frac{1}{2}})$

Этап 6.2.3.2

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{2} (2 \cdot 3^{1} - 2 \cdot 4^{\frac{1}{2}})$

Этап 6.2.4

Найдем экспоненту.

$\frac{1}{2} (2 \cdot 3 - 2 \cdot 4^{\frac{1}{2}})$

Этап 6.2.5

Умножим $2$ на $3$ .

$\frac{1}{2} (6 - 2 \cdot 4^{\frac{1}{2}})$

Этап 6.2.6

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$\frac{1}{2} (6 - 2 \cdot {(2^{2})}^{\frac{1}{2}})$

Этап 6.2.7

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{2} (6 - 2 \cdot 2^{2 (\frac{1}{2})})$

Этап 6.2.8

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.8.1

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{2} (6 - 2 \cdot 2^{2 (\frac{1}{2})})$

Этап 6.2.8.2

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{2} (6 - 2 \cdot 2^{1})$

Этап 6.2.9

Найдем экспоненту.

$\frac{1}{2} (6 - 2 \cdot 2)$

Этап 6.2.10

Умножим $- 2$ на $2$ .

$\frac{1}{2} (6 - 4)$

Этап 6.2.11

Вычтем $4$ из $6$ .

$\frac{1}{2} \cdot 2$

Этап 6.2.12

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$\frac{2}{2}$

Этап 6.2.13

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.13.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2}{2}$

Этап 6.2.13.2

Перепишем это выражение.

$1$

Этап 7