Математический анализ Примеры

$\int_{0}^{\sqrt{π}} x \cos (x^{2}) d x$

Этап 1

Пусть $u = x^{2}$ . Тогда $d u = 2 x d x$ , следовательно $\frac{1}{2} d u = x d x$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Пусть $u = x^{2}$ . Найдем $\frac{d u}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Дифференцируем $x^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}]$

Этап 1.1.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$2 x$

Этап 1.2

Подставим нижнее предельное значение вместо $x$ в $u = x^{2}$ .

$u_{lower} = 0^{2}$

Этап 1.3

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$u_{lower} = 0$

Этап 1.4

Подставим верхнее предельное значение вместо $x$ в $u = x^{2}$ .

$u_{upper} = {\sqrt{π}}^{2}$

Этап 1.5

Перепишем ${\sqrt{π}}^{2}$ в виде $π$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{π}$ в виде $π^{\frac{1}{2}}$ .

$u_{upper} = {(π^{\frac{1}{2}})}^{2}$

Этап 1.5.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$u_{upper} = π^{\frac{1}{2} \cdot 2}$

Этап 1.5.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$u_{upper} = π^{\frac{2}{2}}$

Этап 1.5.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.4.1

Сократим общий множитель.

$u_{upper} = π^{\frac{2}{2}}$

Этап 1.5.4.2

Перепишем это выражение.

$u_{upper} = π^{1}$

Этап 1.5.5

Упростим.

$u_{upper} = π$

Этап 1.6

Значения, найденные для $u_{lower}$ и $u_{upper}$ , будут использованы для вычисления данного определенного интеграла.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = π$

Этап 1.7

Переформулируем задачу, используя $u$ , $d u$ и новые пределы интегрирования.

$\int_{0}^{π} \cos (u) \frac{1}{2} d u$

Этап 2

Объединим $\cos (u)$ и $\frac{1}{2}$ .

$\int_{0}^{π} \frac{\cos (u)}{2} d u$

Этап 3

Поскольку $\frac{1}{2}$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $\frac{1}{2}$ из-под знака интеграла.

$\frac{1}{2} \int_{0}^{π} \cos (u) d u$

Этап 4

Интеграл $\cos (u)$ по $u$ имеет вид $\sin (u)$ .

$\frac{1}{2} \sin (u)]_{0}^{π}$

Этап 5

Найдем значение $\sin (u)$ в $π$ и в $0$ .

$\frac{1}{2} (\sin (π) - \sin (0))$

Этап 6

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Точное значение $\sin (0)$ : $0$ .

$\frac{1}{2} (\sin (π) - 0)$

Этап 6.2

Умножим $- 1$ на $0$ .

$\frac{1}{2} (\sin (π) + 0)$

Этап 6.3

Добавим $\sin (π)$ и $0$ .

$\frac{1}{2} \sin (π)$

Этап 6.4

Объединим $\frac{1}{2}$ и $\sin (π)$ .

$\frac{\sin (π)}{2}$

Этап 7

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.1

Применим угол приведения, найдя угол с эквивалентными тригонометрическими значениями в первом квадранте.

$\frac{\sin (0)}{2}$

Этап 7.1.2

Точное значение $\sin (0)$ : $0$ .

$\frac{0}{2}$

Этап 7.2

Разделим $0$ на $2$ .

$0$