Математический анализ Примеры

$\int_{0}^{\frac{π}{6}} \sec (y) d y$

Этап 1

Интеграл $\sec (y)$ по $y$ имеет вид $\ln (| \sec (y) + \tan (y) |)$ .

$\ln (| \sec (y) + \tan (y) |)]_{0}^{\frac{π}{6}}$

Этап 2

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Найдем значение $\ln (| \sec (y) + \tan (y) |)$ в $\frac{π}{6}$ и в $0$ .

$\ln (| \sec (\frac{π}{6}) + \tan (\frac{π}{6}) |) - \ln (| \sec (0) + \tan (0) |)$

Этап 2.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Точное значение $\sec (\frac{π}{6})$ : $\frac{2}{\sqrt{3}}$ .

$\ln (| \frac{2}{\sqrt{3}} + \tan (\frac{π}{6}) |) - \ln (| \sec (0) + \tan (0) |)$

Этап 2.2.2

Точное значение $\tan (\frac{π}{6})$ : $\frac{\sqrt{3}}{3}$ .

$\ln (| \frac{2}{\sqrt{3}} + \frac{\sqrt{3}}{3} |) - \ln (| \sec (0) + \tan (0) |)$

Этап 2.2.3

Точное значение $\sec (0)$ : $1$ .

$\ln (| \frac{2}{\sqrt{3}} + \frac{\sqrt{3}}{3} |) - \ln (| 1 + \tan (0) |)$

Этап 2.2.4

Точное значение $\tan (0)$ : $0$ .

$\ln (| \frac{2}{\sqrt{3}} + \frac{\sqrt{3}}{3} |) - \ln (| 1 + 0 |)$

Этап 2.2.5

Добавим $1$ и $0$ .

$\ln (| \frac{2}{\sqrt{3}} + \frac{\sqrt{3}}{3} |) - \ln (| 1 |)$

Этап 2.2.6

Используем формулу разности логарифмов с одинаковым основанием: $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{| \frac{2}{\sqrt{3}} + \frac{\sqrt{3}}{3} |}{| 1 |})$

Этап 2.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.1.1

Умножим $\frac{2}{\sqrt{3}}$ на $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$\ln (\frac{| \frac{2}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}} + \frac{\sqrt{3}}{3} |}{| 1 |})$

Этап 2.3.1.1.2

Объединим и упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.1.2.1

Умножим $\frac{2}{\sqrt{3}}$ на $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$\ln (\frac{| \frac{2 \sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}} + \frac{\sqrt{3}}{3} |}{| 1 |})$

Этап 2.3.1.1.2.2

Возведем $\sqrt{3}$ в степень $1$ .

$\ln (\frac{| \frac{2 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}} + \frac{\sqrt{3}}{3} |}{| 1 |})$

Этап 2.3.1.1.2.3

Возведем $\sqrt{3}$ в степень $1$ .

$\ln (\frac{| \frac{2 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}} + \frac{\sqrt{3}}{3} |}{| 1 |})$

Этап 2.3.1.1.2.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\ln (\frac{| \frac{2 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1 + 1}} + \frac{\sqrt{3}}{3} |}{| 1 |})$

Этап 2.3.1.1.2.5

Добавим $1$ и $1$ .

$\ln (\frac{| \frac{2 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{2}} + \frac{\sqrt{3}}{3} |}{| 1 |})$

Этап 2.3.1.1.2.6

Перепишем ${\sqrt{3}}^{2}$ в виде $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.1.2.6.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{3}$ в виде $3^{\frac{1}{2}}$ .

$\ln (\frac{| \frac{2 \sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}} + \frac{\sqrt{3}}{3} |}{| 1 |})$

Этап 2.3.1.1.2.6.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\ln (\frac{| \frac{2 \sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}} + \frac{\sqrt{3}}{3} |}{| 1 |})$

Этап 2.3.1.1.2.6.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$\ln (\frac{| \frac{2 \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}} + \frac{\sqrt{3}}{3} |}{| 1 |})$

Этап 2.3.1.1.2.6.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.1.2.6.4.1

Сократим общий множитель.

$\ln (\frac{| \frac{2 \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}} + \frac{\sqrt{3}}{3} |}{| 1 |})$

Этап 2.3.1.1.2.6.4.2

Перепишем это выражение.

$\ln (\frac{| \frac{2 \sqrt{3}}{3^{1}} + \frac{\sqrt{3}}{3} |}{| 1 |})$

Этап 2.3.1.1.2.6.5

Найдем экспоненту.

$\ln (\frac{| \frac{2 \sqrt{3}}{3} + \frac{\sqrt{3}}{3} |}{| 1 |})$

Этап 2.3.1.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$\ln (\frac{| \frac{2 \sqrt{3} + \sqrt{3}}{3} |}{| 1 |})$

Этап 2.3.1.3

Добавим $2 \sqrt{3}$ и $\sqrt{3}$ .

$\ln (\frac{| \frac{3 \sqrt{3}}{3} |}{| 1 |})$

Этап 2.3.1.4

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.4.1

Сократим общий множитель.

$\ln (\frac{| \frac{3 \sqrt{3}}{3} |}{| 1 |})$

Этап 2.3.1.4.2

Разделим $\sqrt{3}$ на $1$ .

$\ln (\frac{| \sqrt{3} |}{| 1 |})$

Этап 2.3.1.5

$\sqrt{3}$ приблизительно равно $1.7320508$ . Это положительное число, поэтому вычтем абсолютное значение.

$\ln (\frac{\sqrt{3}}{| 1 |})$

Этап 2.3.2

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $1$ равно $1$ .

$\ln (\frac{\sqrt{3}}{1})$

Этап 2.3.3

Разделим $\sqrt{3}$ на $1$ .

$\ln (\sqrt{3})$

Этап 3

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$\ln (\sqrt{3})$

Десятичная форма:

$0.54930614 \dots$