Математический анализ Примеры

$\int_{0}^{t^{10}} \sqrt[5]{u} d u$

Этап 1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt[5]{u}$ в виде $u^{\frac{1}{5}}$ .

$\int_{0}^{t^{10}} u^{\frac{1}{5}} d u$

Этап 2

По правилу степени интеграл $u^{\frac{1}{5}}$ по $u$ имеет вид $\frac{5}{6} u^{\frac{6}{5}}$ .

$\frac{5}{6} u^{\frac{6}{5}}]_{0}^{t^{10}}$

Этап 3

Подставим и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Найдем значение $\frac{5}{6} u^{\frac{6}{5}}$ в $t^{10}$ и в $0$ .

$(\frac{5}{6} {(t^{10})}^{\frac{6}{5}}) - \frac{5}{6} \cdot 0^{\frac{6}{5}}$

Этап 3.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Перемножим экспоненты в ${(t^{10})}^{\frac{6}{5}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{5}{6} t^{10 (\frac{6}{5})} - \frac{5}{6} \cdot 0^{\frac{6}{5}}$

Этап 3.2.1.2

Сократим общий множитель $5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.2.1

Вынесем множитель $5$ из $10$ .

$\frac{5}{6} t^{5 (2) \frac{6}{5}} - \frac{5}{6} \cdot 0^{\frac{6}{5}}$

Этап 3.2.1.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{5}{6} t^{5 \cdot 2 \frac{6}{5}} - \frac{5}{6} \cdot 0^{\frac{6}{5}}$

Этап 3.2.1.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{5}{6} t^{2 \cdot 6} - \frac{5}{6} \cdot 0^{\frac{6}{5}}$

Этап 3.2.1.3

Умножим $2$ на $6$ .

$\frac{5}{6} t^{12} - \frac{5}{6} \cdot 0^{\frac{6}{5}}$

Этап 3.2.2

Перепишем $0$ в виде $0^{5}$ .

$\frac{5}{6} t^{12} - \frac{5}{6} \cdot {(0^{5})}^{\frac{6}{5}}$

Этап 3.2.3

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{5}{6} t^{12} - \frac{5}{6} \cdot 0^{5 (\frac{6}{5})}$

Этап 3.2.4

Сократим общий множитель $5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.4.1

Сократим общий множитель.

$\frac{5}{6} t^{12} - \frac{5}{6} \cdot 0^{5 (\frac{6}{5})}$

Этап 3.2.4.2

Перепишем это выражение.

$\frac{5}{6} t^{12} - \frac{5}{6} \cdot 0^{6}$

Этап 3.2.5

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$\frac{5}{6} t^{12} - \frac{5}{6} \cdot 0$

Этап 3.2.6

Умножим $0$ на $- 1$ .

$\frac{5}{6} t^{12} + 0 (\frac{5}{6})$

Этап 3.2.7

Умножим $0$ на $\frac{5}{6}$ .

$\frac{5}{6} t^{12} + 0$

Этап 3.2.8

Добавим $\frac{5}{6} t^{12}$ и $0$ .

$\frac{5}{6} t^{12}$

Этап 4

Объединим $\frac{5}{6}$ и $t^{12}$ .

$\frac{5 t^{12}}{6}$