Математический анализ Примеры

$\int_{0}^{\sqrt{15}} \frac{8 x}{\sqrt{x^{2} + 1}} d x$

Этап 1

Поскольку $8$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $8$ из-под знака интеграла.

$8 \int_{0}^{\sqrt{15}} \frac{x}{\sqrt{x^{2} + 1}} d x$

Этап 2

Пусть $u = x^{2} + 1$ . Тогда $d u = 2 x d x$ , следовательно $\frac{1}{2} d u = x d x$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Пусть $u = x^{2} + 1$ . Найдем $\frac{d u}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Дифференцируем $x^{2} + 1$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

Этап 2.1.2

По правилу суммы производная $x^{2} + 1$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$

Этап 2.1.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [1]$

Этап 2.1.4

Поскольку $1$ является константой относительно $x$ , производная $1$ относительно $x$ равна $0$ .

$2 x + 0$

Этап 2.1.5

Добавим $2 x$ и $0$ .

$2 x$

Этап 2.2

Подставим нижнее предельное значение вместо $x$ в $u = x^{2} + 1$ .

$u_{lower} = 0^{2} + 1$

Этап 2.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$u_{lower} = 0 + 1$

Этап 2.3.2

Добавим $0$ и $1$ .

$u_{lower} = 1$

Этап 2.4

Подставим верхнее предельное значение вместо $x$ в $u = x^{2} + 1$ .

$u_{upper} = {\sqrt{15}}^{2} + 1$

Этап 2.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1

Перепишем ${\sqrt{15}}^{2}$ в виде $15$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{15}$ в виде $15^{\frac{1}{2}}$ .

$u_{upper} = {(15^{\frac{1}{2}})}^{2} + 1$

Этап 2.5.1.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$u_{upper} = 15^{\frac{1}{2} \cdot 2} + 1$

Этап 2.5.1.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$u_{upper} = 15^{\frac{2}{2}} + 1$

Этап 2.5.1.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1.4.1

Сократим общий множитель.

$u_{upper} = 15^{\frac{2}{2}} + 1$

Этап 2.5.1.4.2

Перепишем это выражение.

$u_{upper} = 15^{1} + 1$

Этап 2.5.1.5

Найдем экспоненту.

$u_{upper} = 15 + 1$

Этап 2.5.2

Добавим $15$ и $1$ .

$u_{upper} = 16$

Этап 2.6

Значения, найденные для $u_{lower}$ и $u_{upper}$ , будут использованы для вычисления данного определенного интеграла.

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = 16$

Этап 2.7

Переформулируем задачу, используя $u$ , $d u$ и новые пределы интегрирования.

$8 \int_{1}^{16} \frac{1}{\sqrt{u}} \cdot \frac{1}{2} d u$

Этап 3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Умножим $\frac{1}{\sqrt{u}}$ на $\frac{1}{2}$ .

$8 \int_{1}^{16} \frac{1}{\sqrt{u} \cdot 2} d u$

Этап 3.2

Перенесем $2$ влево от $\sqrt{u}$ .

$8 \int_{1}^{16} \frac{1}{2 \sqrt{u}} d u$

Этап 4

Поскольку $\frac{1}{2}$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $\frac{1}{2}$ из-под знака интеграла.

$8 (\frac{1}{2} \int_{1}^{16} \frac{1}{\sqrt{u}} d u)$

Этап 5

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1

Объединим $\frac{1}{2}$ и $8$ .

$\frac{8}{2} \int_{1}^{16} \frac{1}{\sqrt{u}} d u$

Этап 5.1.2

Сократим общий множитель $8$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.2.1

Вынесем множитель $2$ из $8$ .

$\frac{2 \cdot 4}{2} \int_{1}^{16} \frac{1}{\sqrt{u}} d u$

Этап 5.1.2.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.2.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$\frac{2 \cdot 4}{2 (1)} \int_{1}^{16} \frac{1}{\sqrt{u}} d u$

Этап 5.1.2.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{2 \cdot 4}{2 \cdot 1} \int_{1}^{16} \frac{1}{\sqrt{u}} d u$

Этап 5.1.2.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{4}{1} \int_{1}^{16} \frac{1}{\sqrt{u}} d u$

Этап 5.1.2.2.4

Разделим $4$ на $1$ .

$4 \int_{1}^{16} \frac{1}{\sqrt{u}} d u$

Этап 5.2

Применим основные правила для показателей степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{u}$ в виде $u^{\frac{1}{2}}$ .

$4 \int_{1}^{16} \frac{1}{u^{\frac{1}{2}}} d u$

Этап 5.2.2

Вынесем $u^{\frac{1}{2}}$ из знаменателя, возведя в $- 1$ степень.

$4 \int_{1}^{16} {(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d u$

Этап 5.2.3

Перемножим экспоненты в ${(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$4 \int_{1}^{16} u^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d u$

Этап 5.2.3.2

Объединим $\frac{1}{2}$ и $- 1$ .

$4 \int_{1}^{16} u^{\frac{- 1}{2}} d u$

Этап 5.2.3.3

Вынесем знак минуса перед дробью.

$4 \int_{1}^{16} u^{- \frac{1}{2}} d u$

Этап 6

По правилу степени интеграл $u^{- \frac{1}{2}}$ по $u$ имеет вид $2 u^{\frac{1}{2}}$ .

$4 (2 u^{\frac{1}{2}}]_{1}^{16})$

Этап 7

Подставим и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Найдем значение $2 u^{\frac{1}{2}}$ в $16$ и в $1$ .

$4 ((2 \cdot 16^{\frac{1}{2}}) - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

Этап 7.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1

Перепишем $16$ в виде $4^{2}$ .

$4 (2 \cdot {(4^{2})}^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

Этап 7.2.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$4 (2 \cdot 4^{2 (\frac{1}{2})} - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

Этап 7.2.3

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.3.1

Сократим общий множитель.

$4 (2 \cdot 4^{2 (\frac{1}{2})} - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

Этап 7.2.3.2

Перепишем это выражение.

$4 (2 \cdot 4^{1} - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

Этап 7.2.4

Найдем экспоненту.

$4 (2 \cdot 4 - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

Этап 7.2.5

Умножим $2$ на $4$ .

$4 (8 - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

Этап 7.2.6

Единица в любой степени равна единице.

$4 (8 - 2 \cdot 1)$

Этап 7.2.7

Умножим $- 2$ на $1$ .

$4 (8 - 2)$

Этап 7.2.8

Вычтем $2$ из $8$ .

$4 \cdot 6$

Этап 7.2.9

Умножим $4$ на $6$ .

$24$

Этап 8