Математический анализ Примеры

$\int_{0}^{\frac{π}{4}} \tan^{2} (x) d x$

Этап 1

Используя формулы Пифагора, запишем $\tan^{2} (x)$ в виде $- 1 + \sec^{2} (x)$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{4}} - 1 + \sec^{2} (x) d x$

Этап 2

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int_{0}^{\frac{π}{4}} - 1 d x + \int_{0}^{\frac{π}{4}} \sec^{2} (x) d x$

Этап 3

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$- x]_{0}^{\frac{π}{4}} + \int_{0}^{\frac{π}{4}} \sec^{2} (x) d x$

Этап 4

Поскольку производная $\tan (x)$ равна $\sec^{2} (x)$ , интеграл $\sec^{2} (x)$ равен $\tan (x)$ .

$- x]_{0}^{\frac{π}{4}} + \tan (x)]_{0}^{\frac{π}{4}}$

Этап 5

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Объединим $- x]_{0}^{\frac{π}{4}}$ и $\tan (x)]_{0}^{\frac{π}{4}}$ .

$- x + \tan (x)]_{0}^{\frac{π}{4}}$

Этап 5.2

Подставим и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Найдем значение $- x + \tan (x)$ в $\frac{π}{4}$ и в $0$ .

$(- \frac{π}{4} + \tan (\frac{π}{4})) - (- 0 + \tan (0))$

Этап 5.2.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.1

Умножим $- 1$ на $0$ .

$- \frac{π}{4} + \tan (\frac{π}{4}) - (0 + \tan (0))$

Этап 5.2.2.2

Добавим $0$ и $\tan (0)$ .

$- \frac{π}{4} + \tan (\frac{π}{4}) - \tan (0)$

Этап 5.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Точное значение $\tan (\frac{π}{4})$ : $1$ .

$- \frac{π}{4} + 1 - \tan (0)$

Этап 5.3.2

Точное значение $\tan (0)$ : $0$ .

$- \frac{π}{4} + 1 - 0$

Этап 5.3.3

Умножим $- 1$ на $0$ .

$- \frac{π}{4} + 1 + 0$

Этап 5.3.4

Добавим $- \frac{π}{4} + 1$ и $0$ .

$- \frac{π}{4} + 1$

Этап 6

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$- \frac{π}{4} + 1$

Десятичная форма:

$0.21460183 \dots$