Математический анализ Примеры

$\int_{0}^{\frac{π}{4}} \sin^{5} (2 x) d x$

Этап 1

Пусть $u_{1} = 2 x$ . Тогда $d u_{1} = 2 d x$ , следовательно $\frac{1}{2} d u_{1} = d x$ . Перепишем, используя $u_{1}$ и $d$ $u_{1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Пусть $u_{1} = 2 x$ . Найдем $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Дифференцируем $2 x$ .

$\frac{d}{d x} [2 x]$

Этап 1.1.2

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 x$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x]$

Этап 1.1.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Этап 1.1.4

Умножим $2$ на $1$ .

$2$

Этап 1.2

Подставим нижнее предельное значение вместо $x$ в $u_{1} = 2 x$ .

$u_{lower} = 2 \cdot 0$

Этап 1.3

Умножим $2$ на $0$ .

$u_{lower} = 0$

Этап 1.4

Подставим верхнее предельное значение вместо $x$ в $u_{1} = 2 x$ .

$u_{upper} = 2 \frac{π}{4}$

Этап 1.5

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.1

Вынесем множитель $2$ из $4$ .

$u_{upper} = 2 \frac{π}{2 (2)}$

Этап 1.5.2

Сократим общий множитель.

$u_{upper} = 2 \frac{π}{2 \cdot 2}$

Этап 1.5.3

Перепишем это выражение.

$u_{upper} = \frac{π}{2}$

Этап 1.6

Значения, найденные для $u_{lower}$ и $u_{upper}$ , будут использованы для вычисления данного определенного интеграла.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = \frac{π}{2}$

Этап 1.7

Переформулируем задачу, используя $u_{1}$ , $d u_{1}$ и новые пределы интегрирования.

$\int_{0}^{\frac{π}{2}} \sin^{5} (u_{1}) \frac{1}{2} d u_{1}$

Этап 2

Объединим $\sin^{5} (u_{1})$ и $\frac{1}{2}$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{2}} \frac{\sin^{5} (u_{1})}{2} d u_{1}$

Этап 3

Поскольку $\frac{1}{2}$ — константа по отношению к $u_{1}$ , вынесем $\frac{1}{2}$ из-под знака интеграла.

$\frac{1}{2} \int_{0}^{\frac{π}{2}} \sin^{5} (u_{1}) d u_{1}$

Этап 4

Вынесем $\sin^{4} (u_{1})$ за скобки.

$\frac{1}{2} \int_{0}^{\frac{π}{2}} \sin^{4} (u_{1}) \sin (u_{1}) d u_{1}$

Этап 5

Упростим с помощью разложения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Вынесем множитель $2$ из $4$ .

$\frac{1}{2} \int_{0}^{\frac{π}{2}} {\sin (u_{1})}^{2 (2)} \sin (u_{1}) d u_{1}$

Этап 5.2

Перепишем ${\sin (u_{1})}^{2 (2)}$ в виде степенного выражения.

$\frac{1}{2} \int_{0}^{\frac{π}{2}} {(\sin^{2} (u_{1}))}^{2} \sin (u_{1}) d u_{1}$

Этап 6

Используя формулы Пифагора, запишем $\sin^{2} (u_{1})$ в виде $1 - \cos^{2} (u_{1})$ .

$\frac{1}{2} \int_{0}^{\frac{π}{2}} {(1 - \cos^{2} (u_{1}))}^{2} \sin (u_{1}) d u_{1}$

Этап 7

Пусть $u_{2} = \cos (u_{1})$ . Тогда $d u_{2} = - \sin (u_{1}) d u_{1}$ , следовательно $- \frac{1}{\sin (u_{1})} d u_{2} = d u_{1}$ . Перепишем, используя $u_{2}$ и $d$ $u_{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Пусть $u_{2} = \cos (u_{1})$ . Найдем $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.1

Дифференцируем $\cos (u_{1})$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\cos (u_{1})]$

Этап 7.1.2

Производная $\cos (u_{1})$ по $u_{1}$ равна $- \sin (u_{1})$ .

$- \sin (u_{1})$

Этап 7.2

Подставим нижнее предельное значение вместо $u_{1}$ в $u_{2} = \cos (u_{1})$ .

$u_{lower} = \cos (0)$

Этап 7.3

Точное значение $\cos (0)$ : $1$ .

$u_{lower} = 1$

Этап 7.4

Подставим верхнее предельное значение вместо $u_{1}$ в $u_{2} = \cos (u_{1})$ .

$u_{upper} = \cos (\frac{π}{2})$

Этап 7.5

Точное значение $\cos (\frac{π}{2})$ : $0$ .

$u_{upper} = 0$

Этап 7.6

Значения, найденные для $u_{lower}$ и $u_{upper}$ , будут использованы для вычисления данного определенного интеграла.

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = 0$

Этап 7.7

Переформулируем задачу, используя $u_{2}$ , $d u_{2}$ и новые пределы интегрирования.

$\frac{1}{2} \int_{1}^{0} - {(1 - {u_{2}}^{2})}^{2} d u_{2}$

Этап 8

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $u_{2}$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$\frac{1}{2} (- \int_{1}^{0} {(1 - {u_{2}}^{2})}^{2} d u_{2})$

Этап 9

Развернем ${(1 - {u_{2}}^{2})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Перепишем ${(1 - {u_{2}}^{2})}^{2}$ в виде $(1 - {u_{2}}^{2}) (1 - {u_{2}}^{2})$ .

$\frac{1}{2} (- \int_{1}^{0} (1 - {u_{2}}^{2}) (1 - {u_{2}}^{2}) d u_{2})$

Этап 9.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{1}{2} (- \int_{1}^{0} 1 (1 - {u_{2}}^{2}) - {u_{2}}^{2} (1 - {u_{2}}^{2}) d u_{2})$

Этап 9.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{1}{2} (- \int_{1}^{0} 1 \cdot 1 + 1 (- {u_{2}}^{2}) - {u_{2}}^{2} (1 - {u_{2}}^{2}) d u_{2})$

Этап 9.4

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{1}{2} (- \int_{1}^{0} 1 \cdot 1 + 1 (- {u_{2}}^{2}) - {u_{2}}^{2} \cdot 1 - {u_{2}}^{2} (- {u_{2}}^{2}) d u_{2})$

Этап 9.5

Перенесем ${u_{2}}^{2}$ .

$\frac{1}{2} (- \int_{1}^{0} 1 \cdot 1 + 1 \cdot - 1 {u_{2}}^{2} - 1 \cdot 1 {u_{2}}^{2} - {u_{2}}^{2} (- {u_{2}}^{2}) d u_{2})$

Этап 9.6

Перенесем ${u_{2}}^{2}$ .

$\frac{1}{2} (- \int_{1}^{0} 1 \cdot 1 + 1 \cdot - 1 {u_{2}}^{2} - 1 \cdot 1 {u_{2}}^{2} - 1 \cdot - 1 {u_{2}}^{2} {u_{2}}^{2} d u_{2})$

Этап 9.7

Умножим $1$ на $1$ .

$\frac{1}{2} (- \int_{1}^{0} 1 + 1 \cdot - 1 {u_{2}}^{2} - 1 \cdot 1 {u_{2}}^{2} - 1 \cdot - 1 {u_{2}}^{2} {u_{2}}^{2} d u_{2})$

Этап 9.8

Умножим $- 1$ на $1$ .

$\frac{1}{2} (- \int_{1}^{0} 1 - {u_{2}}^{2} - 1 \cdot 1 {u_{2}}^{2} - 1 \cdot - 1 {u_{2}}^{2} {u_{2}}^{2} d u_{2})$

Этап 9.9

Умножим $- 1$ на $1$ .

$\frac{1}{2} (- \int_{1}^{0} 1 - {u_{2}}^{2} - {u_{2}}^{2} - 1 \cdot - 1 {u_{2}}^{2} {u_{2}}^{2} d u_{2})$

Этап 9.10

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$\frac{1}{2} (- \int_{1}^{0} 1 - {u_{2}}^{2} - {u_{2}}^{2} + 1 {u_{2}}^{2} {u_{2}}^{2} d u_{2})$

Этап 9.11

Умножим ${u_{2}}^{2}$ на $1$ .

$\frac{1}{2} (- \int_{1}^{0} 1 - {u_{2}}^{2} - {u_{2}}^{2} + {u_{2}}^{2} {u_{2}}^{2} d u_{2})$

Этап 9.12

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{1}{2} (- \int_{1}^{0} 1 - {u_{2}}^{2} - {u_{2}}^{2} + {u_{2}}^{2 + 2} d u_{2})$

Этап 9.13

Добавим $2$ и $2$ .

$\frac{1}{2} (- \int_{1}^{0} 1 - {u_{2}}^{2} - {u_{2}}^{2} + {u_{2}}^{4} d u_{2})$

Этап 9.14

Вычтем ${u_{2}}^{2}$ из $- {u_{2}}^{2}$ .

$\frac{1}{2} (- \int_{1}^{0} 1 - 2 {u_{2}}^{2} + {u_{2}}^{4} d u_{2})$

Этап 9.15

Изменим порядок $- 2 {u_{2}}^{2}$ и ${u_{2}}^{4}$ .

$\frac{1}{2} (- \int_{1}^{0} 1 + {u_{2}}^{4} - 2 {u_{2}}^{2} d u_{2})$

Этап 9.16

Перенесем $1$ .

$\frac{1}{2} (- \int_{1}^{0} {u_{2}}^{4} - 2 {u_{2}}^{2} + 1 d u_{2})$

Этап 10

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\frac{1}{2} (- (\int_{1}^{0} {u_{2}}^{4} d u_{2} + \int_{1}^{0} - 2 {u_{2}}^{2} d u_{2} + \int_{1}^{0} d u_{2}))$

Этап 11

По правилу степени интеграл ${u_{2}}^{4}$ по $u_{2}$ имеет вид $\frac{1}{5} {u_{2}}^{5}$ .

$\frac{1}{2} (- (\frac{1}{5} {u_{2}}^{5}]_{1}^{0} + \int_{1}^{0} - 2 {u_{2}}^{2} d u_{2} + \int_{1}^{0} d u_{2}))$

Этап 12

Объединим $\frac{1}{5}$ и ${u_{2}}^{5}$ .

$\frac{1}{2} (- (\frac{{u_{2}}^{5}}{5}]_{1}^{0} + \int_{1}^{0} - 2 {u_{2}}^{2} d u_{2} + \int_{1}^{0} d u_{2}))$

Этап 13

Поскольку $- 2$ — константа по отношению к $u_{2}$ , вынесем $- 2$ из-под знака интеграла.

$\frac{1}{2} (- (\frac{{u_{2}}^{5}}{5}]_{1}^{0} - 2 \int_{1}^{0} {u_{2}}^{2} d u_{2} + \int_{1}^{0} d u_{2}))$

Этап 14

По правилу степени интеграл ${u_{2}}^{2}$ по $u_{2}$ имеет вид $\frac{1}{3} {u_{2}}^{3}$ .

$\frac{1}{2} (- (\frac{{u_{2}}^{5}}{5}]_{1}^{0} - 2 (\frac{1}{3} {u_{2}}^{3}]_{1}^{0}) + \int_{1}^{0} d u_{2}))$

Этап 15

Объединим $\frac{1}{3}$ и ${u_{2}}^{3}$ .

$\frac{1}{2} (- (\frac{{u_{2}}^{5}}{5}]_{1}^{0} - 2 (\frac{{u_{2}}^{3}}{3}]_{1}^{0}) + \int_{1}^{0} d u_{2}))$

Этап 16

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$\frac{1}{2} (- (\frac{{u_{2}}^{5}}{5}]_{1}^{0} - 2 (\frac{{u_{2}}^{3}}{3}]_{1}^{0}) + u_{2}]_{1}^{0}))$

Этап 17

Объединим $\frac{{u_{2}}^{5}}{5}]_{1}^{0}$ и $u_{2}]_{1}^{0}$ .

$\frac{1}{2} (- (\frac{{u_{2}}^{5}}{5} + u_{2}]_{1}^{0} - 2 (\frac{{u_{2}}^{3}}{3}]_{1}^{0})))$

Этап 18

Подставим и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 18.1

Найдем значение $\frac{{u_{2}}^{5}}{5} + u_{2}$ в $0$ и в $1$ .

$\frac{1}{2} (- ((\frac{0^{5}}{5} + 0) - (\frac{1^{5}}{5} + 1) - 2 (\frac{{u_{2}}^{3}}{3}]_{1}^{0})))$

Этап 18.2

Найдем значение $\frac{{u_{2}}^{3}}{3}$ в $0$ и в $1$ .

$\frac{1}{2} (- ((\frac{0^{5}}{5} + 0) - (\frac{1^{5}}{5} + 1) - 2 ((\frac{0^{3}}{3}) - \frac{1^{3}}{3})))$

Этап 18.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 18.3.1

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$\frac{1}{2} (- (\frac{0}{5} + 0 - (\frac{1^{5}}{5} + 1) - 2 ((\frac{0^{3}}{3}) - \frac{1^{3}}{3})))$

Этап 18.3.2

Сократим общий множитель $0$ и $5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 18.3.2.1

Вынесем множитель $5$ из $0$ .

$\frac{1}{2} (- (\frac{5 (0)}{5} + 0 - (\frac{1^{5}}{5} + 1) - 2 ((\frac{0^{3}}{3}) - \frac{1^{3}}{3})))$

Этап 18.3.2.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 18.3.2.2.1

Вынесем множитель $5$ из $5$ .

$\frac{1}{2} (- (\frac{5 \cdot 0}{5 \cdot 1} + 0 - (\frac{1^{5}}{5} + 1) - 2 ((\frac{0^{3}}{3}) - \frac{1^{3}}{3})))$

Этап 18.3.2.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{2} (- (\frac{5 \cdot 0}{5 \cdot 1} + 0 - (\frac{1^{5}}{5} + 1) - 2 ((\frac{0^{3}}{3}) - \frac{1^{3}}{3})))$

Этап 18.3.2.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{2} (- (\frac{0}{1} + 0 - (\frac{1^{5}}{5} + 1) - 2 ((\frac{0^{3}}{3}) - \frac{1^{3}}{3})))$

Этап 18.3.2.2.4

Разделим $0$ на $1$ .

$\frac{1}{2} (- (0 + 0 - (\frac{1^{5}}{5} + 1) - 2 ((\frac{0^{3}}{3}) - \frac{1^{3}}{3})))$

Этап 18.3.3

Добавим $0$ и $0$ .

$\frac{1}{2} (- (0 - (\frac{1^{5}}{5} + 1) - 2 ((\frac{0^{3}}{3}) - \frac{1^{3}}{3})))$

Этап 18.3.4

Единица в любой степени равна единице.

$\frac{1}{2} (- (0 - (\frac{1}{5} + 1) - 2 ((\frac{0^{3}}{3}) - \frac{1^{3}}{3})))$

Этап 18.3.5

Запишем $1$ в виде дроби с общим знаменателем.

$\frac{1}{2} (- (0 - (\frac{1}{5} + \frac{5}{5}) - 2 ((\frac{0^{3}}{3}) - \frac{1^{3}}{3})))$

Этап 18.3.6

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{1}{2} (- (0 - \frac{1 + 5}{5} - 2 ((\frac{0^{3}}{3}) - \frac{1^{3}}{3})))$

Этап 18.3.7

Добавим $1$ и $5$ .

$\frac{1}{2} (- (0 - \frac{6}{5} - 2 ((\frac{0^{3}}{3}) - \frac{1^{3}}{3})))$

Этап 18.3.8

Вычтем $\frac{6}{5}$ из $0$ .

$\frac{1}{2} (- (- \frac{6}{5} - 2 ((\frac{0^{3}}{3}) - \frac{1^{3}}{3})))$

Этап 18.3.9

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$\frac{1}{2} (- (- \frac{6}{5} - 2 (\frac{0}{3} - \frac{1^{3}}{3})))$

Этап 18.3.10

Сократим общий множитель $0$ и $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 18.3.10.1

Вынесем множитель $3$ из $0$ .

$\frac{1}{2} (- (- \frac{6}{5} - 2 (\frac{3 (0)}{3} - \frac{1^{3}}{3})))$

Этап 18.3.10.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 18.3.10.2.1

Вынесем множитель $3$ из $3$ .

$\frac{1}{2} (- (- \frac{6}{5} - 2 (\frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1} - \frac{1^{3}}{3})))$

Этап 18.3.10.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{2} (- (- \frac{6}{5} - 2 (\frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1} - \frac{1^{3}}{3})))$

Этап 18.3.10.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{2} (- (- \frac{6}{5} - 2 (\frac{0}{1} - \frac{1^{3}}{3})))$

Этап 18.3.10.2.4

Разделим $0$ на $1$ .

$\frac{1}{2} (- (- \frac{6}{5} - 2 (0 - \frac{1^{3}}{3})))$

Этап 18.3.11

Единица в любой степени равна единице.

$\frac{1}{2} (- (- \frac{6}{5} - 2 (0 - \frac{1}{3})))$

Этап 18.3.12

Вычтем $\frac{1}{3}$ из $0$ .

$\frac{1}{2} (- (- \frac{6}{5} - 2 (- \frac{1}{3})))$

Этап 18.3.13

Умножим $- 1$ на $- 2$ .

$\frac{1}{2} (- (- \frac{6}{5} + 2 (\frac{1}{3})))$

Этап 18.3.14

Объединим $2$ и $\frac{1}{3}$ .

$\frac{1}{2} (- (- \frac{6}{5} + \frac{2}{3}))$

Этап 18.3.15

Чтобы записать $- \frac{6}{5}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

$\frac{1}{2} (- (- \frac{6}{5} \cdot \frac{3}{3} + \frac{2}{3}))$

Этап 18.3.16

Чтобы записать $\frac{2}{3}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{5}{5}$ .

$\frac{1}{2} (- (- \frac{6}{5} \cdot \frac{3}{3} + \frac{2}{3} \cdot \frac{5}{5}))$

Этап 18.3.17

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $15$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 18.3.17.1

Умножим $\frac{6}{5}$ на $\frac{3}{3}$ .

$\frac{1}{2} (- (- \frac{6 \cdot 3}{5 \cdot 3} + \frac{2}{3} \cdot \frac{5}{5}))$

Этап 18.3.17.2

Умножим $5$ на $3$ .

$\frac{1}{2} (- (- \frac{6 \cdot 3}{15} + \frac{2}{3} \cdot \frac{5}{5}))$

Этап 18.3.17.3

Умножим $\frac{2}{3}$ на $\frac{5}{5}$ .

$\frac{1}{2} (- (- \frac{6 \cdot 3}{15} + \frac{2 \cdot 5}{3 \cdot 5}))$

Этап 18.3.17.4

Умножим $3$ на $5$ .

$\frac{1}{2} (- (- \frac{6 \cdot 3}{15} + \frac{2 \cdot 5}{15}))$

Этап 18.3.18

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{1}{2} (- \frac{- 6 \cdot 3 + 2 \cdot 5}{15})$

Этап 18.3.19

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 18.3.19.1

Умножим $- 6$ на $3$ .

$\frac{1}{2} (- \frac{- 18 + 2 \cdot 5}{15})$

Этап 18.3.19.2

Умножим $2$ на $5$ .

$\frac{1}{2} (- \frac{- 18 + 10}{15})$

Этап 18.3.19.3

Добавим $- 18$ и $10$ .

$\frac{1}{2} (- \frac{- 8}{15})$

Этап 18.3.20

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{1}{2} (- - \frac{8}{15})$

Этап 18.3.21

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$\frac{1}{2} (1 (\frac{8}{15}))$

Этап 18.3.22

Умножим $\frac{8}{15}$ на $1$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{8}{15}$

Этап 18.3.23

Умножим $\frac{1}{2}$ на $\frac{8}{15}$ .

$\frac{8}{2 \cdot 15}$

Этап 18.3.24

Умножим $2$ на $15$ .

$\frac{8}{30}$

Этап 18.3.25

Сократим общий множитель $8$ и $30$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 18.3.25.1

Вынесем множитель $2$ из $8$ .

$\frac{2 (4)}{30}$

Этап 18.3.25.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 18.3.25.2.1

Вынесем множитель $2$ из $30$ .

$\frac{2 \cdot 4}{2 \cdot 15}$

Этап 18.3.25.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{2 \cdot 4}{2 \cdot 15}$

Этап 18.3.25.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{4}{15}$

Этап 19

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$\frac{4}{15}$

Десятичная форма:

$0.2\overline{6}$