Математический анализ Примеры

\int_{0}^{\frac{π}{3}} sin (3 t) d t

$\int_{0}^{\frac{π}{3}} \sin (3 t) d t$

Этап 1

Пусть

$u = 3 t$ . Тогда

$d u = 3 d t$ , следовательно

$\frac{1}{3} d u = d t$ . Перепишем, используя

$u$ и

$d$

$u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Пусть

$u = 3 t$ . Найдем

$\frac{d u}{d t}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Дифференцируем

$3 t$ .

$\frac{d}{d t} [3 t]$

Этап 1.1.2

Поскольку

$3$ является константой относительно

$t$ , производная

$3 t$ по

$t$ равна

$3 \frac{d}{d t} [t]$ .

$3 \frac{d}{d t} [t]$

Этап 1.1.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что

$\frac{d}{d t} [t^{n}]$ имеет вид

$n t^{n - 1}$ , где

$n = 1$ .

$3 \cdot 1$

Этап 1.1.4

Умножим

$3$ на

$1$ .

$3$

Этап 1.2

Подставим нижнее предельное значение вместо

$t$ в

$u = 3 t$ .

$u_{lower} = 3 \cdot 0$

Этап 1.3

Умножим

$3$ на

$0$ .

$u_{lower} = 0$

Этап 1.4

Подставим верхнее предельное значение вместо

$t$ в

$u = 3 t$ .

$u_{upper} = 3 \frac{π}{3}$

Этап 1.5

Сократим общий множитель

$3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.1

Сократим общий множитель.

$u_{upper} = 3 \frac{π}{3}$

Этап 1.5.2

Перепишем это выражение.

$u_{upper} = π$

Этап 1.6

Значения, найденные для

$u_{lower}$ и

$u_{upper}$ , будут использованы для вычисления данного определенного интеграла.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = π$

Этап 1.7

Переформулируем задачу, используя

$u$ ,

$d u$ и новые пределы интегрирования.

$\int_{0}^{π} \sin (u) \frac{1}{3} d u$

Этап 2

Объединим

$\sin (u)$ и

$\frac{1}{3}$ .

$\int_{0}^{π} \frac{\sin (u)}{3} d u$

Этап 3

Поскольку

$\frac{1}{3}$ — константа по отношению к

$u$ , вынесем

$\frac{1}{3}$ из-под знака интеграла.

$\frac{1}{3} \int_{0}^{π} \sin (u) d u$

Этап 4

Интеграл

$\sin (u)$ по

$u$ имеет вид

$- \cos (u)$ .

$\frac{1}{3} - \cos (u)]_{0}^{π}$

Этап 5

Найдем значение

$- \cos (u)$ в

$π$ и в

$0$ .

$\frac{1}{3} (- \cos (π) + \cos (0))$

Этап 6

Точное значение

$\cos (0)$ :

$1$ .

$\frac{1}{3} (- \cos (π) + 1)$

Этап 7

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Применим угол приведения, найдя угол с эквивалентными тригонометрическими значениями в первом квадранте. Добавим минус к выражению, так как косинус отрицательный во втором квадранте.

$\frac{1}{3} (- - \cos (0) + 1)$

Этап 7.2

Точное значение

$\cos (0)$ :

$1$ .

$\frac{1}{3} (- (- 1 \cdot 1) + 1)$

Этап 7.3

Умножим

$- 1$ на

$1$ .

$\frac{1}{3} (- - 1 + 1)$

Этап 7.4

Умножим

$- 1$ на

$- 1$ .

$\frac{1}{3} (1 + 1)$

Этап 7.5

Добавим

$1$ и

$1$ .

$\frac{1}{3} \cdot 2$

Этап 7.6

Объединим

$\frac{1}{3}$ и

$2$ .

$\frac{2}{3}$

Этап 8

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$\frac{2}{3}$

Десятичная форма:

$0.\overline{6}$